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1、Gauss公式一、Gauss公式前面我们将Newton-Lebniz公式推广到了平面区域的情况,得到了Green公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green公式做进一步推广,这就是下面将要介绍的Gauss公式,Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,同时Gauss公式也是计算曲面积分的一有效方法。定理设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面下围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有一阶连续偏导数则有公式(ar+吊+史)打Ptyde+Qdidr+Rdraly2P,0,或门(8F+动三
2、苴(Pc0sd+gc0sB+RcosY)胭这里乙是52的整个边界曲面的外侧,cosC,c0s),cos/是一上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.证明(略首先偏设穿过内部且平行于坐标轴的直线与奶的边界曲面五的交点恰好为两个设闭区域Q在面xoy上的投影区域为D,2由2,Z,和2,三部分组成Zza(y引)2:5二Zl(X,)、以投影区域的边界曲线为准线,母线平行与*坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分根据三重积分的计算法川s心-III亡工二二)亘萱戍愤瞰=JFURpeyyaGry)-Rroy,ziCJ)Jxdy.根据曲面积分的计算法(Z,取下侦,Zo取上侧,Z,取外侧)IIR(翼，y，z)伽
3、珈=_IIR滩yz1(x,J)MKQy,IIR(r,y,z)drdy=IIR滩，y，zz(滩rdy,IIR(X，y，z)虬薏颢y03于是厂RCr,y,z)dxay=历LRe,y,zaCr,y)-Rr,y,z(x,J)Qxdy,。用a技Royalanay“川余一才PGnyyaayaxQ2川IConyaeser合并以上式得用(+怡+2Jan=目Papds+Odctr+Rdreby高斯公式曰两类曲面积分之间的关系知原+驯+o_苴(Pc0s虞+Qcos厂+爪cos/)dS.2Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.注1。若奴不满足上述条件,可以引进若干张辅助
4、曲面将分成几个有限的小区域使之都满足上述条件注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等,而符号相反,相加时正好抵消,因此上述公式对这样的区域也成立,故一般地町(一吴+二IPaydz+Odzdr+Rdrdy2。公式成立的条件(D“二-封闭曲面(2)井一方向取外侧Q0200人沥(3)无史氓连续根据Gaauss公式,用三重积分来计算曲面积分是比较方便的,但Gaauss公式同时也说明,可用曲面积分来计算三重积分二、简单的应用例1计算曲面积分II(薰一Qxdy+(一Z)xdydz其中为柱面X2+2=1及平面x=0,z=3所围成的空间闭区域42的整个边界曲面的外侧.解P=(y-z)x,Q=0,足二X一马,2Pcneax_yz，ay_0，az0，原式=门O-zJaxdydz“(利用柱=I贡I(rsin召一Z)rdrIdO0Uz=力例2“计算曲面积分II(x2cos义+y2cos/妾+zzc0s夕)缥s】其中5为罗丿厂仪一-Ec0)之间的部分的下侧,cCosco0sB,cosV是Z在(X,y,2)处2的法向量的方向余弦.自
