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1、7期权定价 期权定价 2 教学目的 学习期权价格的基本属性各种影响期权价值的因素看涨和看跌期权的平价关系掌握B S微分方程的基本原理 BS期权定价的基本原理及其定价公式 理解二叉树期权定价原理 初步掌握其定价方法 期权定价 3 教学内容 期权价格的特性内在价值与时间价值期权价格的影响因素期权价格的上下限期权价格曲线的形状看涨期权与看跌期权之间的平价关系B S微分方程风险中性定价BS期权定价公式二叉树期权定价模型单步二叉树模型多步二叉树模型连续红利率资产期权的二叉树定价模型 期权定价 4 1期权价格的特性一 内在价值和时间价值 期权价值构成 内在价值 时间价值期权的内在价值 指多方行使期权时可获
2、得的收益的现值内在价值给出期权总价值的底线 期权价值可比其内在价值更大 期权定价 5 期权的内在价值 欧式看涨期权无收益情形 St Xe r T t 有收益情形 St D Xe r T t 欧式看跌期权无收益情形 Xe r T t St有收益情形 Xe r T t D St美式看涨期权无收益情形 St Xe r T t 提前执行不明智 欧式 美式 有收益情形 St D Xe r T t 美式看跌期权无收益情形 X St 可能提前执行 有收益情形 X D St 期权定价 6 时间价值的含义期权的时间价值 TimeValue 是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价
3、值 也就是说 时间价值是期权获利潜力的价值 显然 标的资产价格的波动率越高 期权的时间价值就越大 期权的时间价值 期权定价 7 此外 期权的时间价值还受期权内在价值的影响 以无收益资产看涨期权为例 当St Xe r T t 时 内在价值为0 期权的时间价值最大当 St Xe r T t 增大时 期权的时间价值是递减的 如下图 图无收益资产欧式看涨期权时间价值与St Xe r T t 的关系 期权定价 8 时间价值最大点 欧式看涨期权价值无收益情形 在St Xe r T t 点最大有收益情形 在St D Xe r T t 点最大欧式看跌期权无收益情形 在St Xe r T t 点最大有收益情形
4、在St Xe r T t D点最大欧式看涨期权价值无收益情形 在St Xe r T t 点最大有收益情形 在St D Xe r T t 点最大美式看跌期权无收益情形 在St X点最大有收益情形 在St X D点最大 期权定价 9 关于该图的几点理解当期权处于平价状态的时候 标的资产无论如何波动也不可能使期权的多头有进一步的损失 不执行期权 但是却可能给期权多头带来巨大的收益 所以 此时波动对于期权多头来说 只有利没有弊 如果期权处于深度虚值状态 标的资产的价格变化到足以使期权变为实值的潜力几乎没有 人们将不愿意为时间价值支付更多 如果处于深度实值状态 由于内在价值相当大 时间价所代表的获利潜力
5、同时也意味着可能使得既得得利益减少甚至消失 所以此时人们也对时间价值的支付意愿也会下降 这样 由两边向中间递增 当期权处于平价状态时 时间价值最大 在实值状态下 越是接近平价的期权 将来标的资产价格来的损失越小 因而未来潜力越大 时间价值越大 在虚值状态下 越是接近平价的期权 未来标的资产得上升所带来的收益越大 因而时间价值越大 期权定价 10 二 期权价格的影响因素 影响期权价值的因素标的资产价格执行价格标的资产的波动率有效期无风险利率标的资产的收益 期权定价 11 标的资产的市场价格与期权的执行价格就看涨期权 标的资产的价格 协议价格 看涨期权的价格 就看跌期权 标的资产的价格 协议价格
6、看跌期权的价格 期权定价 12 期权的有效期美式期权 有效期越长 期权价格越高由于它可以在有效期内任何时间执行有效期越长 多头获利机会就越大有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会欧式期权 有效期与期权价格之间的关系较为复杂只能在期末执行有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会 期权定价 13 例如 同一个股票的两个欧式看涨期权 一个有效期为1个月 另一个为2个月 假定6周后标的股票将有大量的红利支付 显然此时 有效期短的期权价格高于有效期长的期权 但在一般情况下 即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况 由于有效期越长 标的资产的风险就越大 空头亏损的风险也越大 因此即使是
7、欧式期权 有效期越长 其期权价格也越高 即期权的边际时间价值为正值 期权定价 14 标的资产的波动率标的资产的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格 而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额 因此波动率越大 对期权多头越有利 期权价格也应越高标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格 而协议价格并未进行相应调整 因此在期权有效期内标的资产的收益将使看涨期权价格 而使看跌期权价格 期权定价 15 无风险利率无风险利率上升标的资产的预期收益率增加 利率上升将提高贴现率 降低未来收益 执行期权后的收益 的现值 使得
8、期权费下降对于买权来说 前一种作用是有利的 后一种作用是不利的 一般地 前者作用大 利率越高 买权的价值越高 对于卖权来说 这两种作用都是不利的 因此 利率越高 卖权的价值越低 期权定价 16 三 期权价格的上 下限上限 看涨期权 看跌期权欧式 美式 否则套利 买入标的资产并卖出看涨期权 期权定价 17 欧式看涨期权价格的下限 资产无收益情形考虑两组合 组合A 一份欧式看涨期权 金额为Xe r T t 的现金组合B 一单位标的资产资产有收益情形将组合A现金改为D Xe r T t 期权定价 18 欧式看跌期权价格的下限 资产无收益情形考虑两组合 组合C 一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D
9、 金额为Xe r T t 的现金资产有收益情形将组合D现金改为D Xe r T t 结论 欧式期权下限 内在价值 期权定价 19 无收益美式看涨期权价格的下限 现金产生收益 提前执行所得资产无收益 美式期权的时间价值 0 提前执行不明智 直观判断 期权定价 20 考虑如下两个组合 组合A 一份美式看涨期权加上金额为Xe r T t 的现金组合B 一单位标的资产 情形一 不提前执行组合A价值max ST X 组合B价值ST 期权定价 21 情形二 在 时刻提前执行组合A价值 组合B价值S 期权定价 22 比较两种情况可得 提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的同一种无收益标的资产美式看涨和欧式
10、看涨期权价值相同 期权定价 23 有收益美式看涨期权价格的下限 可能提前执行 期权定价 24 有收益美式看涨期权价格的下限 假设期权到期前 标的资产有n个除权日除权前的瞬时时刻 t1 t2 tn这些时刻之后的收益 D1 D2 Dn这些时刻的标的资产价格 S1 S2 Sn 提前执行时间 期权定价 25 tn时刻提前执行多方收益 Sn X 不提前执行资产价格因除权降至 Sn Dntn时刻期权价值Cn tn时刻不提前执行条件 ti时刻不能提前执行条件 期权定价 26 由于存在提前执行更有利的可能性 有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权 其下限为 期权定价 27 无收益美式看跌期权价格的下
11、限 不提前执行 组合A价值max X ST 组合B价值X 时刻提前执行 组合A的价值X 组合B的价值 考虑两个组合组合A 一份美式看跌期权多头加上一单位标的资产组合B 金额为Xe r T t 的现金 有可能提前执行 期权定价 28 美式看跌期权价格的下限 无收益情形有收益情形 期权定价 29 欧式美式 看涨看跌看涨看跌 标的资产无收益 标的资产有收益 标的资产无收益 标的资产有收益 标的资产无收益 标的资产有收益 标的资产无收益 标的资产有收益 上限 SS SS XX 下限 总结 期权定价 30 设某一无红利支付股票的现货价格为30元 连续复利无风险年利率为6 求该股票协议价格为27元 有效期
12、3个月的看涨期权价格的下限 解 看涨期权价格下限为 30 27e 0 06 0 25 3 40元 例 期权定价 31 上限 St 下限 期权的内在价值 当St 0和 时间价值 0 看涨期权价值 0和St Xe r T t 特别地 当St 0 C c 0当内在价值 0 期权价格 时间价值时间价值在St Xe r T t 时最大 四 期权价格曲线的形状无收益看涨期权价格曲线 期权价格上限 C c St 看涨期权价格曲线 期权价格下限 C c max St Xe r T t 0 时间价值 虚值期权平价期权实值期权 StXe r T t 看涨期权价格 有收益资产看涨期权价格曲线与无收益类似 只需把下限
13、中Xe r T t 换成Xe r T t D St 期权定价 32 欧式看跌期权价格 期权价格下限 C c max S Xe r T t 0 上限 时间价值 0st 欧式看跌期权价格曲线 Xe r T t Xe r T t 上限为下限为当St 0和 时 期权价格 和0 特别地 当S 0时 有收益资产价格曲线与该图相似 只需把下限中Xe r T t 换为D Xe r T t 无收益欧式看跌期权价格曲线 期权定价 33 美式看跌期权价格 期权价格下限max X St 0 时间价值 上限 X 美式看跌期权价格曲线 St X 0 上限 X 下限 X St当St足够低 提前执行明智 期权价值为X St
14、当St较小 曲线与下限当St X 期权时间价值最大其它情况与欧式看跌类似 有收益美式看跌期权价格曲线与该图相似 只需把下限中X换成D X 无收益美式看跌期权价格曲线 期权定价 34 五 看涨期权与看跌期权之间的平价关系 卖权价格 买权价格 联系 期权定价 35 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 无收益情形考虑两个组合 组合A 一份欧式看涨期权 金额为Xe r T t 的现金组合B 一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权 一单位标的资产有收益情形组合A中现金改为D Xe r T t 期权定价 36 某一协议价格为25元 有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元 标的股票价格为24元 该
15、股票预计在2个月和5个月后各支付0 50元股息 所有期限的无风险连续复利年利率均为8 请问该股票协议价格为25元 有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少 解 看跌期权价格为 p c Xe r T t D St 2 25e 0 5 0 08 0 5e 0 1667 0 08 0 5e 0 4167 0 08 24 3 00元 例 期权定价 37 用看涨看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本 证明 符号c1 c2 c3 协议价格X1 X2和X3的欧式看涨价格p1 p2 p3 协议价格为X1 X2和X3的欧式看跌价格 例 欧式看涨看跌期权平价公式
16、 c1 X1e r T t p1 Stc2 X2e r T t p2 Stc3 X3e r T t p3 Stc1 c3 2c2 X1 X3 2X2 e r T t p1 p3 2p2c1 c3 2c2 p1 p3 2p2 X1 X3 2X2 期权定价 38 美式看涨期权和看跌期权之间的关系 无收益情形 P p c C 期权定价 39 不提前执行 组合A价值max ST X Xer T t X 组合B价值max X ST 时刻提前执行 组合A的价值Xer t c 组合B的价值X 为推导C和P更严密关系 考虑两组合 组合A 一份欧式看涨期权 X现金组合B 一份美式看跌期权 一单位标的资产 期权定价 40 有收益情形组合A现金改为D X欧式期权平价关系 期权定价 41 软件演示 看涨期权 看跌期权平价关系的演示 期权定价 42 2BS微分方程假设 股价过程为几何布朗运动卖空无限制不存在套利机会证券可以连续交易没有交易成本 税收 证券是无限可分的衍生工具在到期之前不产生红利所有期限的无风险利率同为常数 期权定价 43 BS微分方程推导 标的资产价格过程几何布朗运动布朗运动 BrownianM
