《精编》时间和空间的相对性讲义

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1、第 章时间和空间的相对性 本讲主要内容 二狭义相对论时空变换 一经典时空变换伽利略时空变换 爱因斯坦假设洛伦兹变换 三狭义相对论时空观 四速度极限四维时空 一伽利略时空变换相对运动 所有的惯性系对力学规律都是等价的 我们不可能通过在一个惯性系内部进行力学实验和观察来判断该惯性系是处于绝对运动还是绝对静止 力学相对性原理 1 相对性原理 两个惯性参考系之间的时空变换式 2 时空绝对性 时空变换式应该是线性的 伽利略坐标变换式 S 相对S平动 速度为 速度变换 伽利略变换 Galileantransformations 经典时空中的相对运动 不一定是惯性系 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 绝对

2、速度 相对速度 牵连速度 说明 1 以上结论是在绝对时空观下得出的 只有假定 长度的测量不依赖于参考系 空间的绝对性 才能给出关系式 只有假定 时间的测量不依赖于参考系 时间的绝对性 才能进一步给出关系式 绝对时空观只在u c时才成立 和 2 不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混 运动的合成是在一个参考系中 总能成立 伽利略速度变换则应用于两个参考系之间 3 只适用于相对运动为平动的情形 只在u c时才成立 例 一个人骑车以18km h自东向西行进 他看见雨点垂直下落 当他的速率增至36km h时 看见雨点与他前进的方向成120 角下落 求雨点对地的速度 解 V1 18km h V人

3、地1 V2 36km h V人地2 V雨地 V雨人1 V人地1 V雨地 V雨人2 V人地2 90 60 30 即雨点的速度方向为向下偏西30 绝对速度 相对速度 牵连速度 可得到下图 V雨地 V人地2 36km h 由 例 打靶问题 如图 当子弹由坐标原点出射时 物体 目标 开始自由下落 问 角多大时子弹恰好击中物体 子弹出射速率v0有无限制 试用运动学第一类问题和相对运动两种解法分别求解 解法二 用相对运动求解 即A相对于B作匀速直线运动 为击中B 必须使枪口瞄准靶 即v0指向B 必须满足 不变量 相对量 力学规律的绝对性 速度 动量 动能 机械能等 加速度 力 质量 时间间隔 长度等 质点

4、动能定理在伽利略变换下形式不变 相对量不变量和力学规律的绝对性 重要思想 有些物理量是相对的 而定律是绝对的 二狭义相对论时空变换 1狭相对论产生的背景 电磁现象不符合伽里略相对性原理 麦克斯韦 J C Maxwell 电磁波方程不满足Calilean变换 参考系S 参考系S 以太 ether 参考系实验的零结果 迈克尔逊 莫雷实验 迈克尔逊干涉仪的构造 可以由条纹移动的数目算出地球相对以太的绝对速度 但是实验结果都未能观察到条纹移动 也即无法肯定光速随运动变化 s 爱因斯坦的两个基本假设 A Einstein1879 1955 2 光速不变原理 在所有惯性系中观察者测得的光在真空中沿各方向传

5、播的速度都等于恒定值c 与观察者和光源的运动无关 1 相对性原理 物理定律在所有惯性系中都是相等的 即所有惯性系对于一切物理规律 定律 的描述都是等价的 2爱因斯坦假设洛伦兹变换 Q S系中O 点 x 0 t时刻在x轴上位置为ut S 系中O点 x 0 t 时刻在x 的位置为ut 在伽利略变换中 应用光速不变原理重新确定常数 Q 设 O O 重合瞬间t t 0 自原点沿x方向发出光脉冲到达Q点 时空坐标 光速不变 洛伦兹变换 Lorentztransformations 为确定a1 由逆变换 可解出 当u 0 应有x x 习惯上 洛伦兹变换 讨论 1 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 一切物理规

6、律 2 光速不变与伽利略 速度 变换 光速不变原理与伽利略的速度相加原理针锋相对 3 观念上的变革 牛顿力学 时间标度长度标度质量测量 与参考系无关 狭义相对论力学 长度 时间测量的相对性 光速不变 力学规律 5 若u c 洛伦兹变换无意义 速度有极限 出现虚数 光速是一切物质运动速度 包括相互作用传播速度 的最大极限 4 当u c 还原为伽利略变换 对应原理 1异地同时的相对性 3时间的膨胀 2长度收缩 4相对性与绝对性 主要内容 5闵可夫斯基空间 6时空间隔的不变性 三狭义相对论时空观 1 同时性的相对性 爱因斯坦火车 地面参考系 以爱因斯坦火车为例 在火车上 车头B 车尾A 分别放置信号

7、接收器 向两侧发一光信号 中点M 放置光信号发生器 事件1 A 接收到闪光 事件2 B 接收到闪光 研究的问题 在不同参考系S S 中两事件发生的时间间隔 M 处闪光 光速为c 所以事件1 事件2对于S 是同时发生的 S 系 光速也为c A 迎着光 应比B 早接收到光 S系 所以事件1 事件2对于S是不同时发生的 由洛仑兹变换推导同时性的相对性 事件2 若两事件同时发生 两事件是否同时发生 S 事件1 事件2 S 事件1 由洛仑兹变换 结论 S 异地同时事件 对S一定是非同时事件 讨论 1 异地同时的相对性是光速不变原理的直接结果 2 相对效应 S 系与S系等价 S系异地同时事件 对S 系一定

8、是非同时事件 3 当速度远远小于c时 两个惯性系结果相同 必然结果 是相对论时空观的精髓 S 系的同时事件 对S系一定是非同时事件吗 同地同时事件对任何惯性参考系都是同时事件 当 时空是相互联系的 思考 对运动长度的测量 怎么测 两端的坐标必须同时测 原长 棒静止时测得的它的长度 也称静长 固有长度 棒静止在S 系中 棒以接近光速的速度相对S系运动 S系测得棒的长度值是什么呢 l0 静止长度 x l0 指进行测量的参考系中同时 即 t 0 2 长度测量的相对性 原长最长长度收缩 事件2 测棒的右端 事件1 测棒的左端 物体沿运动方向的长度比其固有长度短 洛伦兹收缩 1 相对效应 讨论 2 纵向

9、零收缩效应 列车钻山洞 3 在低速下 伽利略变换 地面参考系上 列车参考系 列车能否躲过雷击 对事实的描述可以是相对 但事实的结果是绝对的 结论 1 不同参考系 对运动过程的 时空 描述不同 是相对的 对列车 雷击不同时 出口在先 此时头在隧道内 入口雷击较迟 此时车尾又已进洞内 也能躲过雷击 例 穿越隧道的列车能躲过雷击吗 列车静止长度 隧道静止长度 车速为V 头将出洞时在隧道入口和出口同时出现雷击 地面人 车长缩短 不会被雷击 列车人 隧道缩短 会被雷击 2 事实的结论是一致的 是绝对的 对地 雷击是同时异地事件 同时测量得到 列车长度 隧道静止长度能躲过雷击 S 系中 A 处有闪光光源及

10、时钟C M 为反射镜 第一事件 闪光从A 发出 S 系中 S系中 地面 时间膨胀 第二事件 经发射返回A s S 3 时间的膨胀 研究的问题是 1 原时 固有时间 在某系中 同一地点先后发生的两个事件的时间间隔 与在另一系中观察 为发生在两个地点的两个事件 的时间间隔的关系 2 原时最短 时间膨胀 在某一参考系中 同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫原时 同一只钟测量 现测量S系中的两个地点的两只钟测出的时间间隔 由洛仑兹逆变换 原时最短 事件2 两事件同地发生 两事件的时间间隔 S 事件1 事件2 S 事件1 由洛仑兹变换推导时间膨胀 1 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征 运动参考

11、系中的时间节奏变慢了 2 对同样的两个事件 原时只有一个 亦称固有时间 4 双生子效应 讨论 3 当V c 低速时 钟慢效应察觉不到 例 一飞船以u 9 103m s的速率相对于地面匀速飞行 飞船上的钟走了5s 地面上的钟经过了多少时间 解 飞船的时间膨胀效应实际上很难测出 例 带正电的 介子是一种不稳定的粒子 当它静止时 平均寿命为2 5 10 8s 之后即衰变成一个 介子和一个中微子 会产生一束 介子 在实验室测得它的速率为u 0 99c 并测得它在衰变前通过的平均距离为52m 这些测量结果是否一致 解 若用平均寿命 t 2 5 10 8s和u相乘 得7 4m 实验室测得它通过的平均距离应

12、该是 u t 53m 与实验结果符合得很好 与实验结果不符 考虑相对论的时间膨胀效应 t 是静止 介子的平均寿命 是原时 当 介子运动时 在实验室测得的平均寿命应是 原时一定是在某坐标系中同一地点发生的两个事件的时间间隔 小结 注意 原长一定是物体相对某参照系静止时两端的空间间隔 特别提示 在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下 1 确定两个作相对运动的惯性参照系 2 确定所讨论的两个事件 3 表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐标或其时空间隔 4 用洛仑兹变换讨论 设在9km高空 由于 介子的衰变产生一个速率为0 998c的 子 子的平均寿命为2 10 6s 固有寿命 后衰变为电子和中微子

13、 试问 子能否到达地球 若从经典时空观 v 0 998c 10 6 600m 9000m 但实验结果 可检测到 子 4 相对性与绝对性 1 子问题 从地球参考系上看 子能飞行距离为 v t 0 998c 3 17 10 5 9000m 子能到达地球 从 子参考系上看 大气层相对于 子运动 子从产生到地面的距离将会收缩为 子能飞行h所需要的时间是 子能到达地球 时间膨胀 长度缩短 无论从地球参考系还是在 子参考系上来看 虽然距离和时间不同 是相对的 但 子能到达地球的结果是绝对的 对事实的描述可以是相对 但事实的结果是绝对的 由洛伦兹变换 若t2 t1 当两事件不相关时 对于不同的 x 0 0

14、0 时序可以颠倒 对于有因果关系两个事件 另一参考系的测量结果怎样呢 2 时序和因果性 A事件 发射电磁波 由洛仑兹变换 B事件 接受电磁波 在S系中 问题是 当 一定会有 注意 这时两个时空点是用 信号 连接 因此x2 x1 u t2 t1 u为传递速度 有因果关系事件 时序不会倒置 是光速不变原理与光速是极限速度的必然结果 关键 有因果关系的两个事件 时序是否可能颠倒 谁先开枪 谁有罪 站台上两个人相互开枪射击 枪击的火花恰好被两列相向经过的列车中部的旅客看见 调查中法官是否可以根据旅客的证词判定谁开枪呢 假如A B同时开枪 那么根据同时相对性 两位旅客的证词应该正好相反 假如A B中一人

15、是看到另一人开枪后才开枪 那么根据同时相对性 两位旅客的证词是否相反 法官如何判定 有因果关系的两个事件 时序不可能颠倒 谁先开枪 谁有罪 假如A B同时开枪 那么根据同时相对性 两位旅客的证词应该正好相反 因为同时开枪没有因果关系 是对称的 从不对称的两个参考系获得的结果应该是两个相反的结果 假如A B中一人是看到另一人开枪后才开枪 那么就有了因果关系 两位旅客的证词应该完全相同 法官可以判定谁先开枪 对事实的描述可以是相对 但事实的结果是绝对的 关于相对性与绝对性例子还有就是上小节提到的 3 雷击事件 S 系相对于S系的速度为u 考虑一个质点相对于S 系的速度v 则它相对于S系的速度v 是

16、多少 正变换 逆变换 5 洛伦兹速度变换 例 在x方向上以u运动的一个粒子 在y方向发射一个光子 求光子相对地的速度 解 注意到 光速不变原理 在所有惯性系中观察者测得的光在真空中沿各方向传播的速度都等于恒定值c 与观察者和光源的运动无关 理论自洽 注意 1 当 或 2 当 还原为伽利略速度变换 对应原理 3 当 光速是物体运动的极限速度 例 高速宇宙飞船上的人从尾部向前面的靶子发射高速子弹 此人测得飞船长60m 子弹的速度是0 8c 求 当飞船相对地球以0 6c运动时 地球上的观察者得子弹飞行的时间是多少 解 飞船人测子弹飞行时间 正确解法1 宇宙飞船S 地球S 解法2 先求子弹对地球的速度 飞船上的两事件对于地球的空间间隔 非但不收缩 反而 事件P 用四维空间 x y z t 表示 但 x y z t 量纲不同 因此用 光时ct 虚量w ict表示时间坐标 闵可夫斯基空间H Minkowski 1864 1909 x y z w 时空点 世界点wordpoint 轨迹与世界线wordline u c 6 闵可夫斯基空间 取四维位置矢量R的模方 并令 则有 S定义为事件 x y z