概率论与数理统计第二章习题-(1)ppt课件

《概率论与数理统计第二章习题-(1)ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第二章习题-(1)ppt课件（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第二章随机变量及其分布 这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要的概念 随机变量 借助于随机变量 概率统计对随机现象的研究才能完全量化的以较统一的方式进行 从而使概率统计的研究能够向深入发展 第一节随机变量及其分布 1 随机变量的概念2 随机变量的分布函数3 离散随机变量的概率分布列4 连续随机变量的概率密度函数 1 随机变量的概念 为什么要引进随机变量 上一章里 我们介绍了随机现象 样本空间 事件及其概率等知识 知道了随机现象的样本空间的类型很多 即其样本点的类型和数量在不同的研究中有很大差别 有时样本空间的样本点本身就是数量 如掷一颗骰子 样本点是出现的点数 电视机的寿命 样本点是电视机可

2、能的寿命 但在很多的情况下 样本空间的样本点本身不是数 而且数量多 这会对相关事件的深入研究造成麻烦 而且 我们感兴趣的往往不是样本点本身 而仅仅是其某一个数字特征 例如 对50个人进行对于某项政策是否同意的民意调查 其每一个样本点是50个 同意 或 不同意 的排列 如 同意 不同意 不同意 同意 同意 同意 不同意 50 样本空间里含的样本点数有250个 这样的原始的样本空间不便于我们表达和讨论有关事件的研究 该如何简化呢 答案是根据研究目的引进随机变量 从而建立原始样本点和数的关系 得到一个新的由数构成的简单的样本空间 例如在本例中 我们感兴趣的数量仅仅是50个人中同意该项政策的人数 记X

3、为50个人中同意该项政策的人数 则对于每一个原始样本空间的样本点 X有唯一的数与之相对应 所以 X是样本点的函数 根据试验结果的不同取不同的值 我们把X称为一个随机变量 该例中引入随机变量的好处有哪些 引入变量X后 X对应的样本空间为 0 1 50 与原始样本空间相比有两个优点 1 数量化 2 元素少 而且用原始样本空间难以表达的事件 如有一半人同意该项政策 可以用随机变量简单表示成 X 25 或缩写成 X 25 所以说 随机变量的引进大大方便了对概率的研究 以上的例子表明 在随机试验里 有这样的一种量X 它要么就是试验结果即样本点 要么跟试验结果相关 它随着试验结果的不同而取不同的值 所以是

4、变量 这就是随机变量的通俗的定义 从数学的角度看 随机变量X本质上是试验结果即样本点的函数 故有如下的数学的定义 随机变量的定义 设 为试验的样本空间 如果对每个 都对应一个实数X 则称这样的实值函数X 为随机变量 X 可理解成样本点 的某一个数字特征 随机变量常用大写字母X Y Z等来表示 其取值常用相应的小写字母x y z来表示 随机变量的一些例子如 1 同时掷两只骰子 令X 掷得的数字和 2 连续抛一枚硬币25次 令Y 25次中的到的正面的次数 变量的分类假如一个随机变量只能取有限个或可列无穷个值 则称其为离散随机变量 DiscreteRandomVariable 假如一个随机变量的可能

5、取值充满数轴的一个区间 如 a b 则称其为连续随机变量 ContinuousRandomVariable 例如例一中的X是一个离散随机变量 灯泡的寿命T是一个连续随机变量 有了随机变量的概念后 随机事件就可以通过随机变量来表示 例如在维修人员的配备问题中 用X表示同一时刻发生故障的台数 则X是一个随机变量 有关事件如 1 同一时刻恰有k台机床发生故障 可用 X k 来表示 2 车间里同一时刻发生故障的机床台数不超过m台 可用 X k 来表示 这样 我们对随机事件的研究就可以转化成对随机变量的研究 概率分布的定义随机变量X的可能取值和它取这些值的概率称为X的概率分布 正如研究随机试验那样 我们

6、不仅要知道随机试验可能出现哪些结果 更要了解这些结果出现的概率有多大 同样对随机变量 我们不仅要知道它取哪些值 还要知道它取这些值的概率 也就是该随机变量的概率分布 本章的重点就是考察随机变量的概率分布 概率分布由于随机变量的特点有不同的表达方式 下面首先介绍一个通用的工具 随机变量的分布函数 2 随机变量的分布函数 CumulativeDistributionFunction 简称cdf 定义设X是一个随机变量 对任意实数x 称F x P X x 为随机变量X的分布函数 记为X F x 分布函数刻画的是变量X落在 x 这种区间里的概率 那么其它种类的区间呢 P a X b P X b P X

7、 a F b F a P X a 1 P X a 1 F a 这方面更详细的讨论待我们介绍完分布函数的性质再继续 X落在其它种类区间的概率均可以用F x 来表示 如 例一 连续抛一枚硬币三次 定义X 获得的正面的次数 求X的分布函数 解 X的取值情况如下表 故X是一个离散随机变量 可求得X的概率分布为 所以根据分布函数的定义有 当x 0时 F x P X x 0当0 x 1时 F x P X x P X 0 1 8 当1 x 2时 F x P X x P X 0 P X 1 1 2当2 x 3时 F x P X x P X 0 P X 1 P X 2 7 8当x 3时 F x P X x P

8、X 0 P X 1 P X 2 P X 3 1 综上所述 X的分布函数为 X的分布函数的图形为 分布函数的三条基本性质 证明 1 2 显然 我们证 3 有了X的分布函数 那么有关X的各种事件的概率都能方便地用分布函数表示了 从例二中X的F x 图象 可以清楚地看出分布函数的这三条性质 例如 对于任意的实数a b 有 我们看一个连续随机变量分布函数的例子 例三 设连续型随机变量X的分布函数为 解 注意到F x 是连续的 3 离散随机变量的概率分布列 定义若X是一个离散随机变量 如果X的所有可能值为x1 x2 xn 则称X取xi的概率pi P X xi i 1 2 n 为X的概率分布列 一个离散型

9、随机变量的概率分布用分布函数来描述并不是最方便的 因为一个离散随机变量只取有限个或可列无限个值 所以我们可以定义其取每个值的概率 即给出该变量的概率分布列 例如 变量X 掷一颗骰子得到的数 则X的概率分布列是 概率分布列除可以用函数的方式给出 也可以用列表的方式给出 P X xi 1 6 i 1 2 6 或者用列表的方式给出 概率分布列的两条基本性质 反之 如果一个数列 pk 满足上面的两条性质 则必存在某离散随机变量X 使得 pk 成为X的概率分布列 它的图形是介于0 1间的阶梯函数 它在X的每个取值点xi处有个跳跃 其跳跃值恰为P X xi 参看例二中F x 的图形 由X的概率分布列还可求

10、得其分布函数 例四 几何分布 某射手每次射击的命中率为p 现对一个目标连续射击 直到射中为止 设X为该射手命中目标时射击的次数 求X的分布列和分布函数 解 显然 X是一个离散随机变量 其可能取值为1 2 X的概率分布列为 k 1个 当x 1时 F x P X x 0 或者用列表的方式给出 现求其分布函数 当1 x 2时 F x P X x P X 1 p 1 q 当2 x 3时 F x P X x P X 1 P X 2 p pq p 1 q 1 q2 当k x k 1时 F x P X x P X 1 P X 2 P X k p pq pqk 1 p 1 q qk 1 p 1 qk 1 q

11、1 qk 故分布函数为 其中 x 是对x取整 即取小于或等于x的最大整数 几何分布是较为常用的一种离散分布 一般用来描述次数不限的伯努利试验中A事件 首次出现 的概率模型 通常称为几何分布 该例中X服从的分布 之所以称为几何分布 是因为分布列pqk 1正好组成一个几何级数 4 连续随机变量的概率密度函数 ProbabilityDensityFunction 简称pdf 除了上面介绍的离散型随机变量外 还有另外一类随机变量 即连续型随机变量 如灯泡的寿命 等候公共汽车的时间等 它们的取值是非离散的 充满了某一实数区间 是不是也可以用概率分布列的方式去描述其概率分布呢 首先连续随机变量的取值是不可

12、列的 没法象分布列那样以可列的方式定义每个值的概率 答案是否定的 其次 一个连续随机变量取每个值的概率等于0 所以研究其取每个值的概率是平凡的 其原因是 对于任意x0 根据分布函数的性质有P X x0 F x0 F x0 0 又根据连续随机变量的定义 F x 连续 所以F x0 F x0 0 所以P X x0 0 定义 设随机变量X的分布函数为F x 如果存在一个非负可积函数p x 使得对任意实数x 对于连续随机变量 我们常用其概率密度函数来描述其概率分布 则称X为连续随机变量 称p x 为X的概率密度函数 简称密度函数 由定义知 在F x 导数存在的点上有 即概率密度函数是分布函数的导数 密

13、度函数p x 的两条基本性质 基于这两条性质 从图形上看 密度函数曲线y p x 位于x轴上方 且与x轴之间的面积等于1 这一结果有直观的几何意义 X落在 x1 x2 之间的概率恰好等于密度函数曲线下与x轴在 x1 x2 上包围的面积 例如 如果X的密度函数为p x 则对任意x1 x2 x1 x2 有 借助于密度函数 我们可以计算关于变量X的概率 由于连续随机变量取任意一点的概率恒为0 从而在事件 a X b 减去X a或者X b 不影响概率 即 由定义可看出 连续随机变量的分布函数一定是连续函数 而密度函数只是非负可积 未必一定连续 事实上 对于一个连续的密度函数 任意改变其中一点的数值 得

14、到的不连续函数仍然是密度函数 因为其积分值不变 由此可知 密度函数p x 在x处的值反映了随机变量X在x附近取值的概率的大小 相比于概率分布列p xi 反映一个离散变量X在xi处取值的概率的大小 两者是很相似的 为什么这么说呢 密度函数描述连续型随机变量的概率分布 在某种意义上与离散型时用分布列来描述是类似的 例五 设随机变量X具有概率密度 解 解得k 1 6 2 X的分布函数为 即 例六 设G是曲线y 1 x2与x轴所围成的区域 在G内任取一点P P到x轴的距离定义为X 求变量X的分布函数和密度函数 分析 解 区域G的面积为 由曲线y 1 x2 直线y t及x轴围成的面积为 显然 当t 0时 当0 t 1时 当t 1时 所以X的分布函数为 求导得X的概率密度函数为 例五 习题16 设连续随机变量X的密度函数f x 对称 即f x f x F x 为X的分布函数 求证对任意实数h 0 有 实际上本题的结论 大家可以通过画图很容易得到 此题是比较简单的题目 它的意义在于实际应用 例如在今后讲到的标准正态分布变量就具有对称的密度函数 其有关的概率的计算就常常借助于本题中的有关结果而变得简便 本节完 2 1作业 教材第75页习题1 15 16