概率论与数理统计课件2(第一章)

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1、第二节随机事件的概率 随机事件的频率Frequency A 出现正面 随机试验 抛掷一枚均匀的硬币 试验总次数n 将硬币抛掷n次 随机事件 事件A出现次数m 出现正面m次 随机事件的频率 德 摩根 试验者 抛掷次数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m n 2048 1061 0 518 蒲丰 4040 2048 0 5069 皮尔逊 12000 6019 0 5016 皮尔逊 24000 12012 0 5005 维尼 0 4998 14994 30000 抛掷硬币的试验Experimentoftossingcoin 历史纪录 程序模拟 抛掷硬币模拟试验 随机事件A在相同条件下重复多次时 事

2、件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动 随试验次数的增加更加明显 频率和概率 频率的稳定性 事件的概率 事件A的频率稳定在数值p 说明了数值p可以用来刻划事件 发生可能性大小 可以规定为事件A的概率 对任意事件 在相同的条件下重复进行n次试验 事件 发生的频率m n 随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称p为事件 的概率 概率的统计定义 当试验次数足够大时 可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率 再分析一个例子 为检查某种小麦的发芽情况 从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验 其结果如表1 2 从表1 2可看出 发芽率在0 9附近摆动 随着n的增大 将逐渐稳定在0 9这个

3、数值上 概率的统计定义 频率稳定于概率 性质 1 2 有限性 每次试验中 每一种可能结果的发生的可能性相同 即 其中 古典概率模型 每次试验中 所有可能发生的结果只有有限个 即样本空间 是个有限集 等可能性 设试验结果共有n个基本事件 1 2 n 而且这些事件的发生具有相同的可能性 古典概型的概率计算 确定试验的基本事件总数 事件 由其中的m个基本事件组成 确定事件A包含的基本事件数 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 求 出现的点数是不小于3的偶数 的概率 出现的点数是不小于3的偶数 古典概率的计算 抛掷骰子 事件A 试验 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 样本空间 4 6 1 2 3 4 5

4、 6 n 6 m 2 事件A的概率 设在100件产品中 有4件次品 其余均为正品 古典概率的计算 正品率和次品率 n 100 这批产品的次品率 任取3件 全是正品的概率 任取3件 刚好两件正品的概率 mA 4 古典概率的计算 有放回抽样和无放回抽样 设在10件产品中 有2件次品 8件正品 A 第一次抽取正品 第二次抽取次品 第一次抽取后 产品放回去 第一次抽取后 产品不放回去 古典概率的计算 投球入盒 把3个小球随机地投入5个盒内 设球与盒都是可识别的 A 指定的三个盒内各有一球 B 存在三个盒 其中各有一球 古典概率的计算 生日问题 某班有50个学生 求他们的生日各不相同的概率 设一年365

5、天 分析 此问题可以用投球入盒模型来模拟 50个学生 365天 50个小球 365个盒子 相似地有分房问题 房子 盒子 人 小球 生日问题模型 某班有n个学生 设一年N天 则他们的生日各不相同的概率为 至少有两人生日相同的概率为 可能吗 没问题 古典概率的计算 抽签 10个学生 以抽签的方式分配3张音乐会入场券 抽取10张外观相同的纸签 其中3张代表入场券 求A 第五个抽签的学生抽到入场券 的概率 基本事件总数 基本事件总数 第五个学生抽到入场券 另外9个学生抽取剩下9张 所以抽签后千万别和别人说结果 0 192 古典概率的计算 数字排列 用1 2 3 4 5这五个数字构成三位数 没有相同数字

6、的三位数的概率 没有相同数字的三位偶数的概率 生活中的数字排列 彩票买一注7位数中彩票的概率是 小概率事件的存在小概率事件的意义 飞机 火车 汽车的故障率都是小概率事件 小概率事件在一次试验中一般认为不会发生 但是试验次数多就会必然发生 匹配问题 某人写了4封信和4个信封 现随机地将信装入信封中 求全部装对的概率 解设 全部装对 为事件A 总的基本事件数为4 A所包含的基本事件数为1 所以 概率的古典定义 性质 1 2 几何概型GeometricProbability 将古典概型中的有限性推广到无限性 而保留等可能性 就得到几何概型 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 几何度量 指长

7、度 面积或体积 特点 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有 0 5 上诸数字 在桌面上旋转它 求当它停下来时 圆周与桌面接触处的刻度位于区间 2 3 上的概率 2 3 5 0 5 3 2 1 几何概型的计算 甲乙二人相约定6 00 6 30在预定地点会面 先到的人要等候另一人10分钟后 方可离开 求甲乙二人能会面的概率 假定他们在6 00 6 30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的 几何概型的计算 会面问题 解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y 分钟 则 二人会面 布丰的投针试验 公元1777年的一天 法国科学家D 布丰 D

8、 buffon1707 1788 的家里宾客满堂 原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的 试验开始 但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来 纸上预先画好了一条条等距离的平行线 接着他又抓出一大把原先准备好的小针 这些小针的长度都是平行线间距离的一半 然后布丰先生宣布 请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧 不过 请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我 客人们不知布丰先生要干什么 只好客随主便 一个个加入了试验的行列 一把小针扔完了 把它捡起来又扔 而布丰先生本人则不停地在一旁数着 记着 如此这般地忙碌了将近一个钟头 最后 布丰先生高声宣布 先生们 我这里记录了诸位刚才的投针结

9、果 共投针2212次 其中与平行线相交的有704次 总数2212与相交数704的比值为3 142 说到这里 布丰先生故意停了停 并对大家报以神秘的一笑 接着有意提高声调说 先生们 这就是圆周率 的近似值 众宾哗然 一时议论纷纷 个个感到莫名其妙 圆周率 这可是与圆半点也不沾边的呀 几何概型的计算 布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离2a a 0 的平行线 向此平面上投一枚质地匀称的长为2l l a 的针 求针与直线相交的概率 解设针的中点离较近直线的距离为d 针与较近直线的交角为 则d与 的可取值为 0 d a 0 所求概率为 几何概型 性质 1 2 一楼房共15层 假设电梯在一楼启动时有

10、10名乘客 且乘客在各层下电梯是等可能的 试求下列事件的概率 A1 10个人在同一层下 A2 10人在不同的楼层下 A3 10人都在第15层下 A4 10人恰有4人在第8层下 练一练 总的基本事件数 各事件含有的基本事件数分别为 A1A2A3A4 1 解 所以 各事件的概率为 思考题 1 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只 问能凑成两双的概率是多少 总的基本事件数 有利事件数 解 设 能凑成两双鞋 为事件A 所以 所求概率为 思考题 2 一个圆的所有内接三角形中 问是锐角三角形的概率是多少 解以A为起点 逆时针方向为正 B至A的曲线距离为x C至A的曲线距离为y 则 ABC为锐角三角形 或

11、 思考题 2 一个圆的所有内接三角形中 问是锐角三角形的概率是多少 ABC为锐角三角形 或 解 所求概率为 直角三角形 钝角三角形 3 掷两颗骰子 求事件 至少有一颗出现6点 点数之和为8 的概率 解总的基本事件数为 事件A 至少出现一个6点 所包含的基本事件数为 事件B 点数之和为8 所包含的样本点为 所以 4 包括甲 乙在内的10个人随机地排成一行 求甲与乙相邻的概率 若这10个人随机地排成一圈 又如何呢 解总的基本事件数为 排成行时 事件 甲乙相邻 的基本事件数为 排成圈时 事件 甲乙相邻 的基本事件数为 所求概率为 概率的公理化定义及其性质 非负性 规范性 1 可列可加性 那么 称为事

12、件 的概率 概率的公理化定义 0 两两互不相容时 1 2 1 2 证明 由公理3知 所以 概率的性质 不可能事件的概率为零 注意事项 但反过来 如果P A 0 未必有A 例如 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有 0 5 上诸数字 在桌面上旋转它 求当它停下来时 圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0 但该事件有可能发生 设A1 A2 An两两互不相容 则 证明 有限可加性 若AB 则P B A P B P A 差事件的概率 对任意两个随机事件 有 加法定理 加法定理 证明 由于 与其对立事件互不相容 由性质2有 而 所以 逆事件的概率 袋中有20个球 其中15个白球 5个黑球 从中任取3个

13、求至少取到一个白球的概率 设 表示至少取到一个白球 i表示刚好取到i个白球 i 0 1 2 3 则 方法 用互不相容事件和的概率等于概率之和 A A1 2 3 1 2 3 解 方法 利用对立事件的概率关系 例 甲 乙两人同时向目标射击一次 设甲击中的概率为0 85 乙击中的概率为0 8 两人都击中的概率为0 68 求目标被击中的概率 解 设 表示甲击中目标 表示乙击中目标 表示目标被击中 则 0 85 0 8 0 68 0 97 例 例 已知P A 0 3 P B 0 6 试在下列两种情形下分别求出P A B 与P B A 1 事件A B互不相容 2 事件A B有包含关系 解 2 由已知条件和性质3 推得必定有 练一练 投掷两颗骰子 试计算两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率 含4和10 解设 两颗骰子的点数之和在4和10 为事件A 总的基本事件数为 所包含的样本点为 所以 练一练 考察甲 乙两个城市6月逐日降雨情况 已知甲城出现雨天的概率是0 3 乙城出现雨天的概率是0 4 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0 52 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率 解设A表示 甲城下雨 B表示 乙城下雨 则 所以 练一练 把6个小球随机地投入6个盒内 球 盒可识别 求前三个盒当中有空盒的概率 解设表示第个盒空着 则所求概率为