《概率论与数理统计第五章 大数定律 中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第五章 大数定律 中心极限定理（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节大数定律 大数定律小结 预备知识 依概率收敛定义及性质 定义 性质 请注意 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的废品率 n个随机变量的算术平均 大数定律讲述的是 大数定律 定理1 切比雪夫定理的特殊情况 切比雪夫 则对任意的 0 有 做前n个随机变量的算术平均 说明 证 由切比雪夫不等式 上式中令 得 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数 p是事件A发生的概率 是事件A发生的频率 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数 p是事件A在每次试验中发生的概率 则对于任意正数 0 有 定理2 伯努里大数定律 或 伯努利 证明 证
2、毕 注 贝努里大数定律表明 当重复试验次数n充分大时 事件A发生的频率nA n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小 或 下面给出的独立同分布下的大数定律 不要求随机变量的方差存在 设随机变量序列X1 X2 相互独立 服从同一分布 具有数学期E Xi i 1 2 则对于任意正数 有 定理3 辛钦大数定律 辛钦 1 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径 注 2 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 3 辛钦定理具有广泛的适用性 要估计某地区的平均亩产量 要收割某些有代表性块 例如n块地 计算其平均亩产量 则当n较大时 可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计 例在一个罐子中 装有
3、10个编号为0 9的同样的球 从罐中有放回地抽取若干次 每次抽一个 并记下号码 问对序列 Xk 能否应用大数定律 即对任意的 0 解 诸Xk独立同分布 且期望存在 故能使用大数定律 小结 大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一 平均结果的稳定性 第二节中心极限定理 中心极限定理例题小结 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合 或和 影响所形成的 例如 炮弹射击的落点与目标的偏差 就受着许多随机因素 如瞄准 空气阻力 炮弹或炮身结构等 综合影响的 每个随机因素的对弹着点 随机变量和 所起的作用都是很小的 那么弹着点服从怎样分布哪 如果
4、一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成 而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后 人们发现 正态分布在自然界中极为常见 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 高斯 当n无限增大时 这个和的极限分布是什么呢 由于无穷个随机变量之和可能趋于 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 在概率论中 习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理 一 中心极限定理 定理1 独立同分布下的中心极限定理 注 3 虽然在一般情况下 我们很难求出的分布的确切形式 但当
5、n很大时 可以求出近似分布 定理2 李雅普诺夫 Liapounov 定理 独立不一定同分布 请注意 定理3 棣莫佛 拉普拉斯 DeLaplace定理 设随机变量 n 1 2 服从参数n p 0 p 1 的二项分布 则对任意x 有 证 独立同分布 二项分布 定理表明 当n很大 0 p 1是一个定值时 或者说 np 1 p 也不太小时 二项变量的分布近似正态分布N np np 1 p 即 下面演示不难看到中心极限定理的客观背景 二 例题 例1 于是 解 例2 供电问题 某车间有200台车床 在生产期间由于需要检修 调换刀具 变换位置及调换工件等常需停车 设开工率为0 6 并设每台车床的工作是独立的
6、 且在开工时需电力1千瓦 问应供应多少瓦电力就能以99 9 的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产 200台车床是否开工 200次独立重复试验 用X表示在某时刻工作着的车床数 解 对每台车床的观察作为一次试验 每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作 工作的概率0 6 共进行200次独立重复试验 依题意 X B 200 0 6 现在的问题是 求满足 设需N台车床工作 由于每台车床在开工时需电力1千瓦 N台工作所需电力即N千瓦 由德莫佛 拉普拉斯极限定理 近似N 0 1 于是P X N P 0 X N 这里np 120 np 1 p 48 由3 准则 此项为0 查正态分布函数表得 从中解得N
7、141 5 即所求N 142 也就是说 应供应142千瓦电力就能以99 9 的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产 例3 解 例1根据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布 现随机地取16只 设它们的寿命是相互独立的 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率 课堂练习 解 设第i只元件的寿命为Xi i 1 2 16 由题给条件知 诸Xi独立同分布 16只元件的寿命的总和为 且E Xi 100 D Xi 10000 依题意 所求为P Y 1920 E Y 1600 D Y 160000 P Y 1920 1 P Y 1920 1 例2在一个罐子中 装有10个编号为0
8、 9的同样的球 从罐中有放回地抽取若干次 每次抽一个 并记下号码 1 至少应取球多少次才能使 0 出现的频率在0 09 0 11之间的概率至少是0 95 2 用中心极限定理计算在100次抽取中 数码 0 出现次数在7和13之间的概率 由中心极限定理 例2解答 欲使 即 查表得 从中解得 即至少应取球3458次才能使 0 出现的频率在0 09 0 11之间的概率至少是0 95 2 解 在100次抽取中 数码 0 出现次数为 由中心极限定理 即 其中E Xk 0 1 D Xk 0 09 即在100次抽取中 数码 0 出现次数在7和13之间的概率为0 6826 0 6826 四 小结 中心极限定理 注
