《概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3个编号的球放入两个编号盒子中 每个盒子至少放一个球 有多少种放法 1 2 哪种解法正确 分析 设三个球为A B C 两个盒子为1 2 则在解法1中 两种放法重复 A1B1 C2 B1A1 C2 3 隔板法 1在1 2000的整数中随机的取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 解 设A为事件 取到的整数能被6整除 B为 取到的整数能被8整除 则所求的概率为 为 6 12 18 1998共333个 所以能被6整除的整数 AB为 既被6整除又被8整除 或 能被24整除 于是所求的概率为 其中B 8 16 2000 AB 24 48 1992 2一袋中装有a只白球 b只黑
2、球 每次任取一球 取后放回 并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球 如此连续取三次 试求三次均为黑球的概率 解设A 三次取出的均为黑球 Ai 第i次取出的是黑球 i 1 2 3 则有A A1A2A3 由题意得 故 该摸球模型称为卜里耶 Poloya 模型 上述概率显然满足不等式P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 这说明当黑球越来越多时 黑球被抽到的可能性也就越来越大 这犹如某种传染病在某地流行时 如不及时控制 则波及范围必将越来越大 地震也是如此 若某地频繁地发生地震 从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大 所以 卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型 3 袋中有一个
3、白球及一个红球 一次次地从袋中取球 如果取出白球 则除把白球放回再加进一个白球 直至取出红球为止 求取了n次都没有取到红球的概率 解 记 第i次取得白球 i 1 2 n A 取了n次都没有取到红球 则 前n 2次取得白球的条件下 第n 1次取得白球 前n 1次取得白球的条件下 第n次取得白球 第一次取得白球的条件下 第二次取得白球的概率 第一次取得白球 4若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0 002 求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率 解以表示事件 第i个人带有感冒病毒 i 1 2 1500 假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的 则所求概率为 从这个例子可见 虽然每个带有感冒病
4、毒的可能性很小 但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大 这种现象称为小概率事件的效应 卫生常识中 不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理 它们下方的数是它们各自正常工作的概率 求电路正常工作的概率 5下面是一个串并联电路示意图 A B C D E F G H都是电路中的元件 解将电路正常工作记为W 由于各元件独立工作 有 代入得 思考 能否由P ABC P A P B P C 推出P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C 答 不能 这从下面的6可以看出 6若有一个均匀正八面体 其第1 2 3 4面染红色 第1 2 3 5面染白色 第1 6 7
5、8面染上黑色 现在以A B C分别表示投一次正八面体出现红 白 黑的事件 则P A P B P C 4 8 1 2P ABC 1 8 P A P B P C 但是P AB 3 8 1 4 P A P B 7 1 在古典概型的随机试验中 2 若事件A B C D相互独立 则 事件 若事件A1 A2 An相互独立 将它们任意分成k组 同一事件不能同时属于两个不同的组 则对每组事件进行求和 积 差 逆等运算所得到的k个事件也相互独立 3 若事件A与B独立 B与C独立 则事件A与C也相互独立 事件相互独立不具有传递性 8 对任意事件A B下列结论正确的是 a b c d 解 选b d c显然错 可证b
6、是对的 b 9小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 故只能随意拨最后一个号 则他拨三次 由乘法公式 设事件表示 三次拨号至少一次拨通 表示 第i次拨通 则 解 可拨通朋友家的概率为 0 3 10小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 他只能随意拨最后一个号 他连拨三次 由乘法公式 设 表示 第i次拨通 解一 求第三次才拨通的概率 解二 从题目叙述看要求的是无条件概率 产生误解的原因是未能仔细读题 未能分清条件概率与无条件概率的区别 本题若改叙为 他连拨三次 已 知前两次都未拨通 求第三次拨通的概率 此时 求的才是条件概率 1110件产品中有3件次品 从中任取2件 在所取2件中有一件是次品的条件下
7、 求 另一件也是次品的概率 解1 设事件表示 所取2件中有一件次品 事件表示 另一件也是次品 则 解2 1 4 1全概率公式 1 4 2逆概率公式 1 4全概率公式与逆概率公式 定义 也称为的一个分割 样本空间的分割 P38 有三个罐子 1号装有2红1黑球 2号装有3红1黑球 3号装有2红2黑球 某人从中随机取一罐 再从中任意取出一球 求取得红球的概率 引例1 如何求取得红球的概率 一 全概率公式 P38 全概率公式 证明 概率的性质 乘法公式 事件的性质 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 全概率公
8、式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果 根据历史资料 每一原因发生的概率已知 而且每一原因对结果的影响程度已知 则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 因为B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 依题意 P Ai 1 3 i 1 2 3 P B A1 2 3 P B A2 3 4 P B A3 1 2 有三个罐子 1号装有2红1黑球 2号装有3红1黑球 3号装有2红2黑球 某人从中随机取一罐 再从中任意取出一球 求取得红球的概率 解 记Ai 球取自i号罐 i 1 2 3 A1 A2 A3是样本空间的一个分割 B 取得红球 再看引例1 代入数据计算得 因为B发生总是伴随着A1 A2 A3
9、之一同时发生 有三个罐子 1号装有2红1黑球 2号装有3红1黑球 3号装有2红2黑球 某人从中随机取一罐 再从中任意取出一球 求取得红球的概率 解记Ai 球取自i号罐 i 1 2 3 A1 A2 A3是样本空间的一个分割 B 取得红球 再看引例1 依题意 P Ai 1 3 i 1 2 3 P B A1 2 3 P B A2 3 4 P B A3 1 2 代入数据计算得 例1有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占30 二厂生产的占50 三厂生产的占20 又知这三个厂的产品次品率分别为2 1 1 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 设事件B为 任取一件为次品 解 30 20 50 例1
10、有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占30 二厂生产的占50 三厂生产的占20 又知这三个厂的产品次品率分别为2 1 1 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 事件B为 任取一件为次品 30 20 50 2 1 1 由全概率公式得 全概率公式的另一种提法 则 为两两互斥的事件组 且事件 引例2 某人从任一罐中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号罐的概率 这是一个条件概率问题 下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率 Bayes 公式 称此为逆概率公式或贝叶斯公式 二 逆概率公式 Bayes公式 P39 证明 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的
11、条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 条件概率 全概率公式 乘法公式 逆概率公式 Bayes公式 的使用 我们把事件B看作某一过程的结果 根据历史资料 每一原因发生的概率已知 而且每一原因对结果的影响程度已知 如果已知事件B已经发生 要求此时是由第i个原因引起的概率 则用逆概率公式 逆概率公式 Bayes公式 的使用 我们把事件B看作某一过程的结果 根据历史资料 每一原因发生的概率已知 而且每一原因对结果的影响程度已知 如果已知事件B已经发生 要求此时是由第i个原因引起的概率 则用逆概率公式 A1 A2 A3是样本空间的一个分割 依题意 P Ai 1 3 i 1 2 3 P B A1 2 3
12、 P B A2 3 4 P B A3 1 2 某人从任一罐中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号罐的概率 再看引例2 解记Ai 球取自i号罐 i 1 2 3 B 取得红球 代入数据计算得 A1 A2 A3是样本空间的一个分割 某人从任一罐中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号罐的概率 再看引例2 解记Ai 球取自i号罐 i 1 2 3 B 取得红球 依题意 P Ai 1 3 i 1 2 3 P B A1 2 3 P B A2 3 4 P B A3 1 2 代入数据计算得 例2 2 由逆概率公式得 同理可得 例4 解 1 由全概率公式得 2 由逆概率公式得 解 例3 由逆概率公式得所
13、求概率为 解 例5 由逆概率公式得所求概率为 上题中概率0 95是由以往的数据分析得到的 叫做先验概率 P39 而在得到信息之后再重新加以修正的概率0 97叫做后验概率 P39 先验概率与后验概率 先验概率与后验概率的关系 解 例4 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症 解 例4 由逆概率公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症 每100件产品为一批 已知每批产品中次品数不超过4件 每批产品中有i件次品的概率为 从每批产品中不放回地取10件进行检验 若发现有不合格产品 则认为这批产品不合格 否则就认为这批产品合格 求 1 一批产品通过检验的
14、概率 2 通过检验的产品中恰有i件次品的概率 例5 设一批产品中有i件次品为事件Ai i 0 1 4 B为一批产品通过检验 由全概率公式与Bayes公式可计算P B 与 解设一批产品中有i件次品为事件Ai i 0 1 4 B为一批产品通过检验 已知P Ai 如表中所示 A0 A1 A2 A3 A4是样本空间的一个分割 且 1 00 90 8090 7270 652 1 00 90 8090 7270 652 0 1230 2210 3970 1790 080 1 一批产品通过检验的概率 2 通过检验的产品中恰有i件次品的概率 每100件产品为一批 已知每批产品中次品数不超过4件 每批产品中有i
15、件次品的概率为 从每批产品中不放回地取10件进行检验 若发现有不合格产品 则认为这批产品不合格 否则就认为这批产品合格 求 1 一批产品通过检验的概率 2 通过检验的产品中恰有i件次品的概率 例7 解设一批产品中有i件次品为事件Ai i 0 1 4 B为一批产品通过检验 则 已知P Ai 如表中所示 且 结果如下表所示 1 00 90 8090 7270 652 0 1230 2210 3970 1790 080 1 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 乘法定理 本章中介绍了一类新的现象 随机现象 这是一种普遍存在的现象 在大量随机现象中存在着统计规律性 概率论便是研究随机现象的数量规律的
16、一门数学学科 事件 与 概率 是概率论中最基本的两个概念 我们在公理化结构下严格地定义了概率的概念 为了能清楚地理解事件与概率的直观含义 我们采用由具体到抽象 由简单到复杂 由特殊到一般的方式分别介绍了频率 古典概型 几何概率 并从中归纳出事件与概率的本质特征 为公理化定义作准备 最后给出了概率的公理化定义 这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行 事件的运算及概率的性质是本章的基本内容 也是学习以后的必要基础 务必牢固掌握 本章小结 概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质 并未对事件A的概率P A 给定一个具体的数 只在古典概型的情况 对于每个事件A给出了概率P A k n 一般 我们可以进行大数量的重复试验 得到事件A的频率 而以频率作为P A 的近似值 在古典概型中 我们证明了条件概率的公式 1 1 在一般的情况 1 1 式则作为条件概率的定义 固定A 条件概率P A 具有概率定义中的三个基本性质 因而条件概率是一种概率 有两种计算条件概率P B A 的方法 1 按条件概率的含义 直接求出P B A 注意到 在求P B A 时已知
