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1、第二章 第一节随机变量 第二节离散型随机变量及其分布律 第三节随机变量的分布函数 第四节连续型随机变量及其概率密度 第五节随机变量的函数的分布 第二章随机变量及其分布 Section1 1 第一节随机变量 出现正面的次数 引例将一枚硬币抛掷3次 以X记3次抛掷中 X具有三个特点 X是一个变量 X取什么值依赖于试验的结果 即X的取值 带有随机性 试验的每一个结果都对应X的一个确定的取值 即X是样本空间S上的函数 Section1 1 1 定义设随机试验E的样本空间为S e X X e 是定义在样本空间S上的实单值函数 称X X e 为随机变量 例1 掷一颗骰子 令X表示出现的点数 例2 连续抛掷
2、一枚硬币 直到出现正面为止 令Y表示抛掷的次数 例3 观察某电子元件的寿命 单位 小时 令 表示该电子元件的寿命 Section1 1 2 一般地 若L是一个实数集合 将X在L上取值 写成 X L 它表示事件A e X e L 即 A是由S中使得X e L的所有样本点e所组成的 事件 此时有 P X L P A P e X e L 随机变量的取值随试验的结果而定 在试验 之前不能预知它取什么值 但它的取值有一定的概率 理解随机变量 随机变量 事件 Section2 1 第二节离散型随机变量及其分布律 随机变量 离散型随机变量可能取值为有限个或可列个的 设离散型随机变量X的所有可能取值为 X取各
3、个可能值的概率 即事件 的概率 为 分布律的性质 称为离散型随机变量X的分布律 概率分布 Section2 1 1 分布律经常用表格的形式来表示 例1 从1 2 3 4 5五个数字中任取3个数 令 X表示取出的3个数中的最大数 求X的分布律 解 X的可能取值为 3 4 5 Section2 1 2 例2 连续抛掷一枚硬币 直到出现正面为止 令X表示抛掷的次数 求X的分布律 解 X的可能取值为 1 2 3 表示第i次出现正面 i 1 2 3 Section2 1 3 例3 设随机变量X的分布律为 则常数a 解 由于 即 Section2 2 将贝努利试验独立重复地进行n次 则称这独立 贝努利试验
4、只有两个可能结果的试验 一般地 将这两个结果记作 A与 分别称为 设 则 成功 与 失败 重复试验序列为n重贝努利试验 Section2 2 1 0 1分布如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为p的0 1分布 贝努利分布 或 P A p 令X表示一次试验中事件A发生的次数 则X服从参数为p的0 1分布 如果贝努利试验的两个可能结果记作 A与 或者令 Section2 2 2 二项分布如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n p的二项分布 记作 如果贝努利试验的两个可能结果记作 A与 P A p 令X表示n重贝努利试验中事件A发生 的次数 则 Section2 2 3 例1 一张考卷上有
5、5道选择题 每道题的4个选 该学生至少答对4道题的概率为多少 项中只有一个选项是正确答案 某学生凭随机猜测答题 该学生答对3道题的概率为多少 解 设X表示答对题的数量 A表示答对题 Section2 2 4 二项分布的分布率P X k 先是随着k的增大而 增大 达到其最大值后再随着k的增大而减少 这个使 得P X k 达到最大值的称为二项分布的最可能 次数 如果不是整数 则 如果是整数 则或 Section2 2 5 几何分布如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为p的几何分布 记作 如果贝努利试验的两个可能结果记作 A与 P A p 独立重复进行贝努利试验 直到A出现为止 令X表示试验的次
6、数 则 Section2 2 6 例2 独立重复进行伯努利试验 设每次试验成功 的概率为p 失败的概率为q 1 p 0 p 1 进行10次试验 至少成功2次的概率为多少 设X表示10次中成功的次数 试验次数 求X的分布律 将试验进行到出现成功为止 以X表示所需的 Section2 2 6 1 将试验进行到出现r次成功为止 以Y表示所 需试验次数 求Y的分布律 出现3次成功之前已出现4次失败的概率为多少 Y的可能取值 r r 1 r 2 Section2 2 7 例3 一辆汽车沿一街道行驶 要经过三个均设有红 绿信号灯的路口 红绿信号灯显示的时间为1 2 且 汽车首次遇到红灯前已通过的路口数 求
7、X的分布律 三个路口红绿信号灯的工作是相互独立的 以X表示该 解 X的可能取值 0 1 2 3 表示第i个路口显示绿信号灯 i 1 2 3 Section2 2 7 1 Section2 2 8 例4 设X B 2 p Y B 3 p 若P X 1 5 9 则P Y 1 分析 Section2 2 9 泊松分布如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为 的泊松分布 记作 在随机时刻出现的某事件称作随机质点 如 交通事故 电话用户对交换台的呼叫 用户对商 品质量的投诉 到达机场的飞机或到达港口的船只 大地震后的余震 天空中的流星等 在空间某固定区域内 在长为t的时间内出现的 质点数 在固定时间内
8、 在体积或面积 为v的区域内出现的质点数 Section2 2 10 例5 设书籍中每页印刷错误数服从泊松分布 统计资料表明 每页有一个印刷错误与有两个印刷错 错误的概率 误的概率相同 求任意检验的四页中 各页都没有印刷 分析 设X表示每页印刷错误数 Y表示检验的 四页中没有印刷错误的页数 Section3 1 第三节随机变量的分布函数 定义设X为随机变量 x是任意实数 函数 称为X的分布函数 若X的分布函数为 则对任意实数 有 Section3 1 1 分布函数的性质 单调不减 右连续 分布函数是一个普通的函数 其定义域为 其值域为 分布函数是事件的概率 即 对于分布函数 注意 分布函数在x
9、处的函数值就是随机变量X落在 区间上的概率 不能唯一确定随机变量 任何随机变量都存在分布函数 但分布函数 的充分必要条件 分布函数的四个性质是一个函数为分布函数 Section3 1 2 则A B 例1 确定分布函数中的待定参数 设随机变量X的分布函数为 解 根据分布函数的性质 有 得 Section3 2 利用分布函数表示相关事件的概率 特别地 若a是F x 的连续点 则P X a 0 Section3 2 1 例2 利用分布函数 求相关事件的概率 设随机变量X 则 的分布函数为 解 先求待定参数A的值 得A 1 Section3 2 1 1 Section3 3 求X的分布函数 并求 设随机变量X的分布律为 例3 已知分布律 求分布函数 已知分布函数 怎样求分布律呢 Section3 4 设离散型随机变量X的分布律为 则X的分布函数为 Section3 4 1 则X的分布函数为 设离散型随机变量X的分布律为 分布函数一般为阶梯函数 它在处有 跳跃 其跳跃值为 Section3 5 例4 求非离散型随机变量的分布函数 以X表示在区间 a b 上任取的一个数 假设X 落在 a b 上的任一子区间内的概率与这个区间的长 度成正比 求X的分布函数 解 当x b时 当a x b时 当x a时 Section1 1 X 自定义放映
