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1、沈阳铁路实验中学2018-2019学年度下学期期中试题高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出Z，进而求出z的模即可【详解】（3i）z1i，zi，故|z|，故选：B【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题2.已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故。所以。选A。3.设为可导函数，则在点（1，）处的切线斜率为（ ）A. 2B. 1C
2、. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据导数几何意义求切线斜率.【详解】函数在点处的切线的斜率为选B.【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.4.已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；设为实数，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（ ）A. 的假设正确，的假设错误B. 的假设错误，的假设正确C. 与的假设都错误D. 与的假设都正确【答案】B【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.详解：已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；设为实数，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.故
3、答案为：B.点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.5.若函数满足，则的值为( )A. 3B. 1C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】先求出 ，令x=1，求出后，导函数即可确定，再求【详解】，令x=1，得 ，解得，故选：A【点睛】本题考查导数公式的应用及函数值求解，属于基础题6.下列积分值最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果.【详解】A：，函数y=为奇函数，故，B:，C:表示以
4、原点为圆心，以2为半径的圆的面积的，故，D:，通过比较可知选项A的积分值最大，故选：A【点睛】计算定积分的步骤：先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；根据定积分的基本性质，变形；分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)。7.设,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意将替换为，然后和比较即可.详解：由题意将替换，据此可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目
5、“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 （ ）A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种【答案】C【解析】【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.9.已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程是()A. B. C.
6、 或D. 或【答案】D【解析】由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，则a=2,即y=2x3，y=6x2，设切点为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2，由点斜式得：y-2m3=6m2(x- m).代入点A（l，2）得,2-2m3=6m2(1-m).即有，.解得或，即斜率为6或则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是：y2=6(x1)或y2=(x1)，即6xy4=0或3x2y+1=0.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定
7、义知，切线方程为10.对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为思考上述解法，若关于的不等式的解集为 ，则关于的不等式的解集为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】关于的不等式的解集为，所以由可得，关于的不等式的解集与的解集相同，为，故选A.11.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或,从而可得的值范围.【详解】根据题意，设，其导数 ，又由当
8、时，则有 ，即函数在 上为减函数，又由，则在区间上，又由，则，在区间上，又由，则，则在和上，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.已知函数，若曲线上存
9、在两点，这两点关于直线的对称点都在曲线上，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为与图像关于直线对称，所以只需与有两个交点，即方程有两个根，显然是其一个根，所以只需要在或上有一个根即可，即只需一解，令，则，令，则，当时，时，所以当，所以，所以时是减函数，时是减函数，当，所以，故，选D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填在题中的横线上)13.曲线与曲线所围成的区域的面积为_.【答案】【解析】【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论【详解】由曲线yx与y2-x2，得2-x2=x，解得x-2或x1，则根据积分的
10、几何意义可知所求的几何面积（2x-）= ；故答案为：【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，属于基础题14.已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则_.【答案】【解析】【分析】设复数zbi，把z代入中求出b和m的值，再计算【详解】由题意可设复数zbi，bR且b0，i是虚数单位，由z是的复数根，可得（bi）2（2m-1）bi+0，即（b2+1+）（2m-1）bi0， ，解得，zi，z+mi|z+m|故答案为：【点睛】本题考查复数相等的概念和复数模长的计算，属于基础题15.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称
11、中心.”请你将这一发现为条件，函数，计算=_【答案】2012【解析】【分析】求出二阶导数f（x），再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值【详解】，f（x）3x2-3x+3，f（x）6x-3，由f（x）0得x，f（）1；它的对称中心为(,1)，则有f（x）+f（1x）2=+210062012故答案为：2012【点睛】本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义通过求出函数的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9
12、，10出现在第4行；依此类推，若数字195在第m行从左至右算第n个数字，则为_.【答案】25【解析】【分析】每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，每行中相邻的数字为连续正整数，由此结合等差数列的求和公式可得结果【详解】由网格可知每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，由等差数列的求和公式可得前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第5个数字为195，故数字195在第20行从左至右第5个数字，即m=20,n=5,可得m+n=25,故答案为：25【点睛】本题考
13、查合情推理、等差数列的前n项和，考查逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强.三、解答题(本大题共6小题，共70分.其中第17题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数（其中），且曲线在点处切线垂直于直线.（1）求的值及此时的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（）a= ,； （）减区间为，增区间为；极小值为，无极大值.【解析】【分析】（）先求导函数，根据切线与直线垂直可得切线的斜率为k=-2.由导函数的意义代入即可求得a的值；代入函数后可求得，进而利用点斜式可求得切线方程。（）将a代入导函数中，令，结合定义域求得x的值；列出表格，根据表格即可判断
14、单调区间和极值。【详解】（）由于，所以， 由于 在点 处的切线垂直于直线，则 ，解得. 此时，切点为，所以切线方程为. （）由（）知，则,令，解得或（舍），则的变化情况如下表， 50递减极小值递增所以函数的减区间为，增区间为.函数的极小值为，无极大值.【点睛】本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值，属于基础题。18.已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.（1）求的解析式；（2）若常数，求函数在区间上最大值.【答案】（1）；（2）当时,；当时,.【解析】试题分析：（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的
