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1、第8章 正弦稳态电路的分析-张明编写 第8章 正弦稳态电路的分析 教学提示 本章主要讲述R、L、C串联电路的复阻抗及并联电路的复导纳表示法；正确理解R、L、C参数发生变化时对电路性能的影响；掌握正弦交流电路的相量分析法。正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算，最大功率传输。 学习目标 ? 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换了； ? 熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法； ? 了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及 表达形式； ? 掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件； 知识结构 图 8-1 本章知识结构图
2、210 8.1 阻抗和导纳 阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。 8.1.1 阻抗 阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。 1. 阻抗的定义 图8-2所示的无源线性一端口网络，当它在角频率 为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电压相量 和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗 Z 。即 Z?U I?U?Z? 单位： uizI 图 8-2 无源线性一端口网络 上式称为复数形式的欧姆定律，其中 称为 阻抗模， 称为阻抗角。由于 Z 为复数，也 称为复阻抗，这样图 8-2 所示的无源一端口网络可以用 图 8-3 所示的
3、等效电路表示，所以 Z 也称为一端口网 络的等效阻抗或输入阻抗。 图 8-3 等效电路 2 单个元件的阻抗 当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为： a 电阻 a图 Z? b 电容 图 8-4 单个元件的网络 c 电感 U I?R b图 Z?U I?j1?jXc c图 ?C Z?U I?j?L?jXL 说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 211 3 RLC 串联电路的阻抗 图 8-5 RLC 串联电路 ? 图 8-5 阻抗三角形 1?U?UR?UL?UC?RI?j?LI?jI?c 由 KVL 得：?1?R?j(?L?)I?R?j(XL?XC)I?C 因此，等效阻抗为 Z? UI?R?j
4、?L-j1?R?jX?Z?L ?c 其中 R等效电阻 (阻抗的实部)；X等效电抗(阻抗的虚部) ；Z、R 和 X 之间的转换关系为： ?Z?R2?X2?R?Zcos?L ?或 ?X?L?arctg?X?Zsin?LR? 可以用图 8-6 所示的阻抗三角形表示。 结论： 对于 RLC 串联电路： （1） 当L 1/C 时，有 X 0 ， z0 ，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 8-7 所示； 图8-7 L 1/C 时的相量图和等效电路 （2）对于RLC串联电路当L 1/C时，有 X 0 ，z0 ，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以
5、电流为参考相量）和等效电路如图 8-8 所示； 212 图8-8 L 1/C 时的相量图和等效电路 （3） 当L 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图8-9所示； 图8-9 L 1/C 时的相量图和等效电路 （4） RLC 串联电路的电压 UR 、U X 、U 构成电压三角形，它和阻抗三角形相似。 22满足：U?R?UX 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。 8.1.2. 导纳 1导纳的定义 图 8-1 所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的
6、正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳 Y 。即 Y?I U?I?U?I?y 单位：S U I称U 图 8-10 无源线性一端口网络等效导纳 上式仍为复数形式的欧姆定律，其中 ?为导纳模， ?y?i-?u称为导纳角。由于 Y 为复数，称为复导纳，这样图 8-2 所示的无源一端口网络可以 213 用图 8-10 所示的等效电路表示，所以 Y 也称为一端 口网络的等效导纳或输入导纳。 2 单个元件的导纳 当无源网络内为单个元件时如图 8-4 所示，等效导纳分别为： a图 Y?I U?1II?G b图 Y?j?C?jBC c图 Y?jBL j?LRUU? 说
7、明 Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 3 RLC 并联电路的导纳 图 8-11 RLC 并联电路 ?图 8-12 导纳三角形 ?1? 由 KCL 得： I?IR?IL?IC?GU?jU?j?CU ?L ?1?j?C)U?G?j(B?BC)U?(G?jB)U ?(G?jL?L 因此，等效导纳为 Y?I U?G?j?C?j1?G?jB?y ?L 其中 G等效电导(导纳的实部) ； B等效电纳(导纳的虚部) ；Y 、G 和 B 之间的转换关系为： ?Y?2?B2?G?Ycos?L ?B或 ?B?Ysin? ?y?L?G? 可以用图 8-12 所示的导纳三角形表示。 结论： 对于 RLC 并联电路：
8、 （1） 当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 8-12 所示； 214 图 8-13 L 1/C 时的相量图和等效电路 （2）当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 8-14 所示； 图 8-14 L 1/C 时的相量图和等效电路 （3） 当L = 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图8-15所示 图 8-15 L =
9、 1/C时 的 相量图和等效电路 （4）RLC 并联电路的电流 IR、IX 、I 构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足 22U?R?UX 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。 215 8.1.3复阻抗 当运用相量法分析和计算正弦交流电路时，电压、电流均用复数形式的相量表示，此时电路元件上的电阻、电抗也应表示为复数形式，用复数形式表示的电阻和电抗，简称为复阻抗。 对单一电阻元件的正弦交流电路而言，对应的复阻抗可表示为Z=R，由于R是一个实数，所以在只有耗能元件的正弦交流电路中，复阻抗仅有实部而没有虚部；单一电感元件的正弦交流电路，对应的复阻抗Z=
10、jXL，单一电容元件的正弦交流电路，对应的复阻抗Z=jXC，这说明在仅有储能元件作用的正弦交流电路中，电路的复阻抗只有虚部而没有实部。将上述结论推广，显然在既有耗能元件又有储能元件的正弦交流电路中，复阻抗必定是既有实部又有虚部。 例如RL串联电路的复阻抗表示为：Z?R?jXL RC串联电路的复阻抗表示为：Z?R?jXC Z?R?j(XL?XC) RLC串联电路的复阻抗表示为： 8.1.4. 复阻抗和复导纳的等效互换 同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为：Z? 即： Z?1,?Z?y如图 8-16 的串联电路， 1 Y 8-16 串联电路和其等效的并联电路 它的阻抗为：Z?R?jX?
11、Z?Z 11R?jX?2?G?jB ZR?jXR?X2 其等效并联电路的导纳为：Y? 即等效电导和电纳为：G?R?X，B? R2?X2R2?X2 同理，对并联电路，它的导纳为 Y?G?jB?Y?y 216 11G?jB 其等效串联电路的阻抗为： Z?Y?G?jB?G2?B2?R?jX 即等效电阻和电抗为： R?G G2?B2，X?BG2?B2 例8-1 电路如图(a)所示，已知：R=15, L=0.3mH，C=0.2mF，u?52sin（?t?60?），f?3?104Hz求 i ,uR ,uL ,uC 。 图8-17例 8 -1 图（a） 解：电路的相量模型如图（b）所示，其中：U?5?60?
12、V j?L?j2?3?104?0.3?10?3?j56.5? -j11 ?C?j2?3?104?0.2?10?6?j26.5? 因此总阻抗为 Z?R?j?L?j1 ?C?15?j56.5-j26.5 ?33.54?63.4? ? ? 总电流为 I?U Z?5?60? 33.54?63.4?0.149?3.4?A ? 电感电压为UL?j?LI?56.5?90?0.149?3.4?8.42?86.4?V 电阻电压为 U? R?RI?15?0.149?3.4?2.235?3.4?V 电容电压为 ? U1 C?j?CI?26.5?90?0.149?3.4?3.95?93.4?V 相量图如图8-17（c
13、）所示，各量的瞬时式为： i?0.2sin（?t-3.4?）A UR?2.2sin（?t-3.4?）V 217 （b） c）（ U?8.2sin(?t?86.6）V L?3.2sin(?t-93.4)V UC 注意 UL?8.42?U?5，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。 例8-2 RL 串联电路如图8-18（a）所示，求在106rad/s 时的等效并联电路图（b）。 图8-18例 8 - 2 图（ a ） （ b ） 解：RL 串联电路的阻抗为：XL?L?106?0.06?10?3?60? Z?R?jXL?50?j60?78.1?50.2? 11?0.0128?50.2?0.0082?j0.0098S ?Z78.1?50.2 11?122? 得等效并联电路的参数 R?G0.0082 1?0.102mH L?0.0098? 导纳为：Y? 218 8.1.5 阻抗(导纳)的串联和并联 1.
