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1、学 海 无 涯经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理正确运用两个基本原理排列组合二项式定理在等可能性事件的概率中考查排列、组合利用二项式定理解决三项以上的展开式问题利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1（典型例题）已知集合A=B=1，2，3，4，5，6，7，映射f:AB满足f(1)f(2)f(3)f(4),则这样的映射f的个数为 （ ）AC47A33 BC47 C77 DC7473考场错解 f(1)f(2)f(3)f(4)，且f(1)f(2)f(3)f(4)的值为1，2，3，4，5，6，7中的某4个，这样的映射有C47个，选
2、B专家把脉 C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。对症下药 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为1，2，3，4，5，6，7中的某4个，又f(1)f(2)f(3)f(4) f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定，1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，有73种可能。根据分肯计数原理，这样的映射共有C4773个。选D。2（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为_（用数字作答）考场错解 每两人之间比赛一
3、场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。至少需要比赛6场，填6。专家把脉 前一种解法的错误是没有看清题意，“至少”没有理解好；后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。对症下药 先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮
4、被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。至少需要4+2+1+2=9场比赛。3（典型例题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_种（用数字作答）。考场错解 因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，质点不同的运动方法共有16种，填16。专家把脉 质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。对症下药 解法一：如图12-1
5、，A（1，0）、B（2，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（-1，0），依题意跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树图，可得结果为5。解法二：设向右跳一次记为+1，向左跳一次记为-1，需要其和为+3，那么应为4个+1，1个-1，质点不同的运动方法共有C15=5种。4（典型例题）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个（用数字作答）。考场错解 从难从1、3、5、7中任取两个数字有C24种方法，从0、2、4、6、8中任取两个数字有C25种方法，能被5带队的数有两类：（1）0在末位，有A33种排法；（2）5
6、在末位，有C12A22=4种排法，依据分步和分类计数原理，共有（C24+C25）（A33+4）=160。填160。专家把脉 将问题分成两步，这是不错的，但第2步认为5和0一定被选出来了这是错误的，没有分类讨论的思想是错误的根源。对症下药 将问题分成三类：（1）含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C13C24种方法，将5排在末位，则组数的过程有A33种方法，依据分步计数原理得这一类共有C13C24A33=108个；（2）含数字0，不含数字5，则选元素的过程有C23C14种方法，将0排在末位，则组数过程有A33种方法，这一类共有C23C14A33=72个；（3）含数字0，也含数字5，则选元素的过
7、程有C13C14，若0在末位，则组数过程有A33种方法，若0不在末位，则组数过程有C12A22种种这类共有C13C14（A33+C12A22）=120个。根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108+72+120=300个。专家会诊两个基本原理是学习排列、组合的重要基础，解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的事情是什么，然后再分析每一种做法，事情是否完成，从而区分分类计数原理和分步计数原理，运用分类计数原理时，要恰当分类，做到不重复，又不遗漏；运用分步计数原理时，关键是分好步，需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤，平时应注意养成一题从多角度来解的习
8、惯。考场思维训练1 设集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1，2，3，9，且PQ。把满足上述条件的一对有序整数对（x,y）作为一个点的坐标，则这样的点个数是（ ）A9个B14个C15个D21个答案： B 解析：PQ，x=2或x=y，当x=2时，y有3，4，9等7个值，此时点的个数是7个；当x=y时，x=y有3，4，9等7个值，此时点的个数是7个，这样的点的个数是14个，选B 2 用五个数字0、1、1、2、2组成的五位数总共有 （ ）A12个 B24个 C30个 D48个答案： B 解析：分三步：(1)确定首位，1或2，共有两种方法；(2)将两个相同的元素安排位置有种；(3)第三步排剩下的
9、两个元素，有种 共有2=243 6个同学报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为_。（用数字作答）答案：540 解析：不管限制条件，每人都有3种报法，共有36种，其中只报考了两所院校和只报考了一所院校不符合题意，只报考了两所院校的可能有(26 -2)，只报考了一所院校的可能有3，不同的报考方法数为36-(26 -2)-3=540或第一步将6人分成三部分，有三种情况：(1)1，1，4，方法数为；(2)1，2，3，方法数为;(3)2，2，2方法数为这一步的方法数为+=90；第二步将这三部分人分到3所院校有，不同的报考方法数为90=540命题角度 21（典型例题）用0，1
10、，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是_.考场错解 将两个奇数数字排好有A22种方法，有三个空档，由于0不能在首位，偶数数字的排法有2A22种，不同的五位数有2A22A22=8个填8。专家把脉 对相邻问题的一般解法不熟悉，错解中的8个符合题意，但是遗漏了很多情况。对症下药 分两种情况：（1）若0夹在两个奇数之间，将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有A33种，考虑到1与3可以互换位置所以这种情况有A33A22 =12个；（2）若2、4中一个夹在两个奇数数字之间，同上的想法，共有C12C12A22A22=16个，满足条件
11、的五个数的个数是12+16=28个。2（典型例题）将标号为1、2， 10的10个数放入标号为1，2，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球茎，恰在此时好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 （ ） A120 B240 C360 D720考场错解 第一步考虑哪三个球的标号与其所在盒子的标号不一致，有C310=120种；第二步选出来的3个球与其盒子的标号不一致，用间接解法，总数A33，不符合题意的有三个盒子与其球的标号一致，有1种可能，两个盒子与其球的标号一致，有1种可能，一个盒子与其球的标号一致，有3种可能，这一步的方法数为A33-1-1-3=1，根据分步计数原理，放入方法种数
12、为1201=120。选A。专家把脉 第二步中有错误，实际上两个盒子的标号与球的标号一致，就一定是三个盒子的标号与球的标号一致，用间接解法时多减了。对症下药 第一步确定是哪三个球的标号与其盒子的标号不一致，有C310=120种方法，第二步：选出来的三个球的标号与其盒了的标号不一致，只有2种方法。根据分步计数原理放入方法种数为1202=240。选B。3（典型例题）已知集合A有4个元素，集合B有3个元素，集合A到B的映射中，满足集合B的元素都有原象的有多少个？考场错解 将A中4个元素用隔板法分成三部分，有C23种方法，再将这三部分与B中元素对应有A33种方法。满足条件的映射有C23A33=18个；或
13、先在A中选3个元素与集合B中的元素对应有A34种方法，剩下的一个元素有3种对应方法。满足条件的映射有A343=72个。专家把脉 前一种解法错在将不同的东西用隔板法分组，实际上只有分相同的东西才能用陋板法。如若将A中4个元素记为a、b、c、d、B中的3个元素记为A、B、C，某一个映射中a,d都与A对应，用隔板法是做不到的。后一种解法的错误是重复，如a,d都与A对应，b,c分别与B、C对应这个映射算了两次。对症下药 依题意，A中肯定有某两元素与B中的一个元素对应，先在4个元素中选2个，当作一整体与其他两元素一起看作3个元素与B中的元素对应，满足条件的映射有C24A34=36个。4（典型例题）4名男
14、同学排好有A44种方法，再在5个空档处将4名女生插进去，有A45种方法。不同的排法数为A44A45=2880专家把脉 这2880种排法中有的排法男生是相邻的。如女、男、女、男、男、女、男、女是2880中的一种，但其中有两男生相邻。对症下药 先将4名男同学排好有A44种方法，再将女生插进去，有2A44种方法，所以不同的排法种数为A442A44=1152种。考场思维训练1 集合A=B=1，2，3，4，5，从A到B的映射，满足：（1）f(1)f(2)f(3)f(4)f(5);(2)f的象只有2个。则这样的映射有_个.答案：40 解析：第一步从1，2，3，4，5中选2个元素作为f的象，有种；第二步将选
15、出的元素与1，2，3，4，5对应，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)，有种对应方法不同的映射有=40个 2 （1）将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为_.答案：解析：15(1)15先在2号盒子中放一个球，在3号盒子中放2个球，剩下的7个球之间有6个空档，放2个隔板，有=15种方法，上面15种方法都能使盒子里球的个数不少于盒子里的编号数填15(2)方程x+y+z=10(x,y,zN)的解有_组。答案：66 在排好的13个1的12个空档中放人两个隔板，有=66种方法，将x、y 、z分到的1的个数分别减去1个，这样x+y+z=10，且x、y、zN.方程的解有66组
