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1、学 海 无 涯经典易错题会诊与2012届高考试题预测（九）考点9圆锥曲线 对椭圆相关知识的考查 对双曲线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 对轨迹问题的考查 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 轨迹问题 圆锥曲线中的定值与最值问题经典易错题会诊命题角度1对椭圆相关知识的考查 1(典型例题)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 考场错解 A 专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把当作离心率 对症下药 D 设椭圆的方程为=l (a，b
2、0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=k，则e=2(典型例题)设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A2 B C D 考场错解 D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 k= 专家把脉 没有很好理解a、b、c的实际意义 对症下药 C 设双曲线方程为=1，则由题意知c=5，=4 则a2=20 b2=5，而a=2 b= 双曲线渐近线斜率为= 3(典型例题)从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B=(x，y)x|11，且|
3、y|9内的椭圆个数为 ( ) A43 B72 C86 D90 考场错解 D 由题意得，m、n都有10种可能，但mn故椭圆的个数1010-10=90 专家把脉 没有注意，x、y的取值不同 对症下药 B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且mn，故椭圆的个数：108-8=724(典型例题)设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( ) 考场错解 设直线l的方程为y=kx+b 如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4
4、)，依题意有=3 由 所以x1+x2=- 由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若k=1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1 所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0 当k=0时，由(1)得x1、2= 由(2)得x3、4=由=3(x4-x1)即 故l的方程为y= 当b=0时，由(1)得x1、2=，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即综上所述：直线l的方程为：y= 专家把脉 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解 对症下药 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况设直线l的方程为y=kx
5、+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有 由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0(1) 所以x1+x2=- 由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0 若k=1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1 所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或 b=0当k=0时，由(1)得 由(2)得x3、4=由(x4-x3) 即故l的方程为 y= 当b=0时，由(1)得x1、2= 自(2)得x3、4=(x4-x3)即 故l的方程为y=再讨论l与x轴垂直时的情况 设直线l的方程为x=c，
6、分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=y3、4=即综上所述，直线l的方程是：y=x、y=和x=解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为： A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且于是x0=y0=x2-x1=3 (x4-x3)因此若x0y00，则x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1因A、B、C、D互异，故xixj，yiyj，这里ij=1，2，3，4且 ij(1)(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0当x0=0，y00时，由(2)得y4=y30
7、，这时l平行 x轴设l的方程为y=b，分别代入椭圆、双曲线方程得：xl、2=x3、4=x2-x1=3(x4-x3)故l的方程为y=当y0=0，x00，由(2)得x4=x30，这时l平行y轴设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=y3、4=y2-y1=3(y4-y3) 故l的方程为：当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=故l的方程为y=综上所述，直线l的方程是：y=、y=和x= 5(典型例题)设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两
8、点 (1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程； ()试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)考场错解 (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 依题意，x1x2 kAB-N(1，3)是AB的中点，x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9 又由N(1，3)在椭圆内，312+32=12应用结论时也易混淆 对症下药 (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0 设A(x
9、1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程的两个不同的根， =4(k2+3)-3(k-3)20， 且x1+x2=，由N(1，3)是线段AB的中点，得，A(k-3)=k2+3 解得k=-1，代入得，12，即的取值范围是(12，+) 于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依题意，x1x2，kAB=- N(1，3)是AB的中点，x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1 又由N(1，3)在椭圆内，312+32=12， 的取值范围是(12，)直线AB的
10、方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 ()解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程的两根，x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)于是由弦长公式可得|CD|= 将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|= 当12时，,|AB|12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心点M到直线AB的距离为d=于是，由、式和勾股定理可得
11、|MA|2=|MB|2=d2+故当12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2 =|CN|DN|，即. 由式知，式左边=,由和知，式右边=式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由()解法1及12， CD垂直平分AB，直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-=0将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2=不妨设A(1+计算可得,A在以CD为直径的圆上又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆
12、(注：也可用勾股定理证明ACAD)专家会诊 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等考场思维调练 1 已知椭圆的中心O是坐标原点，A是它的左顶点，F是它的左焦点，l1，l2分别为左右准线，l1与x轴交于O，P、Q两点在椭圆上，且PMl1于M,P
13、Nl2于N，QFAO，则下列比值中等于椭圆离心率的有( ) A.1个 B2个 C.4个 D5个 答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于=e，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|= |BF|=,故(5)正确；(2)显然不对，所选C2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c，静放在点A的小球 (小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 ( ) A4a B2(a-c) C.2(a+c) D以上答案均有可能答案： D 解析：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B；(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小 球经过的路程是2(a+c)，则选C；(3)
