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1、学 海 无 涯经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十六）考点16复数复数的概念复数的代数形式及运算复数概念的应用复数的代数形式及运算经典易错题会诊命题角度 1复数的概念1（典型例题）若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数，则实数a的值为_.考场错解 z1+a+2i,z2=3-4i,又为纯虚数。a=.填。专家把脉 复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a=0且b0.因此上面解答虽然答案是正确的，但解答过程错了，在由解得a=时还需满足。对症下药z1=a+2i,z2=3-4i,为纯虚数，解得a=。填。2（典型例题）z=的共轭复数是 （ ）A+i B-iC1-i D1+i考场错解
2、选C z=1+i.z为纯虚数为1-i专家把脉 z=1+i是错误的，因为（1-i）(1+i)=1-(i)2-z1对症下药 选B z=z=的共轭复数是-i。3（典型例题）已知复数z1=3+4i，z2=t+i,且是实数，则实数t= （ ）A B C- D-考场错解 选C z1R=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0t=-.专家把脉 zR=z.z为纯虚数z+=0(z0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的t是z1为纯虚数的结果，显然是错误的。对诊下药 解法1：z1=（3+4i）(t-i)= (3-4i)(t+i)z1为实数，4t-3=0，t=.解法2：z1 R，z1
3、= （3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=.4（典型例题）已知z是复数，z+2i,均为实数（i为虚数单位），且复数（2+ai）2在复平面上对应的点在第一象限。求实数a的取值范围。考场错解 设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i由题意得 y=-2.(x+2)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i(z+ai)2在复平面上的点在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是2，6。专家把脉 复数z=a
4、+bi(a、bR)对应点（a、b）在第一象限的充要条件是a0,b0. a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a2，b6。对症下药 设z=x+yi(x、yR).z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=-2.又(2x+2)+(x-4)i.由题意得：x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根据条件，可知 解得2a6.实数a的取值范围是（2，6）。专家会诊1深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点（a、b）及向量是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形
5、结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,bR)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。考场思维训练1 若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 （ ）A-2 B4 C-6 D6答案： C 解析：2 复数z=-1，在复平面内，z所对应的点在 （ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案： B 解析：z=3 设复数z满足，则|1+z|= （ ）A0 B1 C D2答案
6、： C 解析：由|1+z|=|1-i|=4 已知复数z1满足（1+i）z1=-1+5i，a2=a-2-i.其中i为虚数单位，aR。若|z1-|z1|，求a的取值范围。答案：解：由题意得由1a7.命题角度 2复数的代数形式及运算1（典型例题）复数= （ ）Ai B-iC-2-i D-2+i考场错解 选C专家把脉 上面解答错误认为i2=1.导致结果错误。对症下药 A 解法1： 故选A。解法2：2（典型例题）复数的值是 （ ） A-16 B16C- D8-8 考场错解 选D。 选D。专家把脉 上面解答似乎很有“道理”，但（-+）5=（-+）3是错误的zmn=(zm)n在数范围内，必须是m、n均正整数
7、时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。对症下药 选A。原式=3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆考场错解 选A。 由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。专家把脉 上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,yR)代入计算才能确定答案。对症下药 选C。设z=x+yi(x,yR)代入|z-i|=|3+4i|中计
8、算得即x2+(y-1)2=25.z的轨迹是表示以（0，1）为圆心，以5为半径的圆，选C。4（05，上海卷）证明：在复数范围内，方程|z|2+（1-i）-(1+i)z=(i为虚数单位)无解。考场错解 |z|=|，原方程化简为：两边取模的：|z|2+（1-i-1-i）|z|=|1-3i|=.|z|2-2i|z|=|z|2-=2i|z|。 |z|R。 |z|2-R 而2i|z|为纯虚数或0。当|z|=0。显然不成立；当2i|z|为纯虚数，也不成立。综合得：原方程无解。专家把脉 以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=z2（R+）时成立，而从题设条件中是无法得到
9、这一条件的。对症下药 原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*)=-160,方程（*）无实数解。原方程在复数范围内无解。专家会诊1复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2求解计算时，要充分利用i、w的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i、w转化的计算问题。3在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。考场思维训练1 （ ） A-2-i B-2+iC2-i D2+i答案： C 解析：2 z=i+i2+i3+i4的值是 （ ）A-1
10、 B0 C1 Di答案： B解析：z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.3 答案：4 已知复数z=1+i，求实数a、b,使az+2b=(a+2z)2.答案：解：z=1+i,代入az+2b得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.5 设i是虚数单位，复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0(1) 若z和w又满足-z=2i，求z和w值。答案： （2）求证：如果|z|=，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+2i)=2iw-1|z|w+2i|=|2iw-1|设w=x+yi
11、,则有又|z|=3,故式可变为3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1,x2+y2-8y=11.探究开放题预测预测角度 1复数概念的应用下列命题中：（1）两个复数不能比较大小；（2）若z=a+bi，则当且仅当a=0,b0时，z为纯虚数；（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3；（4）x+yi=1+ix=y=1;（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应。其中正确的命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D3解题思路 关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，若对复数概念理解不透彻，导致判断失误。解答 选A 都不正确：（1）因为当两个复数是实数时
12、，可以比较大小；（2）若b=i时，则有z=0+i2=-1R。（3）只有当z1、z2、z3R时，命题才成立，当z1=1，z2=0，z2=i满足条件，故结论不成立。（4）只有当x、yR时，命题才正确。（5）若a=0，则ai=0,不再是纯虚数。2复数z=log2(z2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时。（1）zR；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数；（4）=log449-i;（5）在复平面上z的对应点们于第三象限。解题思路 讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,bR)的形式，然后根据复数的分类求解。解答 （1）一个复数是实数的充要条件是虚部为0，解得x=4,当x=4时，x
13、R。（2）一个复数是虚数的充要条件是虚部非0。解得x4即x(,4) (4,+ )时，Z为虚数。（3）一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为零。即x不存在。（4）log2(x2-3x-3)-ilog2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件：解得x=5，当x=5时，=log449-i.（5）依题意有解得x4当x4时，复数z对应的点位于第三象限。预测角度 2复数的代数形式及运算1计算：（1）（2）解题思路 利用w的性质和in的周期性进行运算。解答（1）原式=（2）原式=2设复数z=，若z2+az+b=1+i,求实数a、b的值。解题思路 与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。解答z=将z=1-i代入z2+az+b=1+i得（1-i）2+a(1-i)+b=1+i即(a+b)-(a+b)i=1+i3.若zc，且|z+2-2i|=1,则|z+2-2i|的了小值是 （ ）A2
