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1、专题四 高考数学三角函数复习训练高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形式出现。因此，在复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性.近年来，三角函数与向量联系问题有所增加，三角知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给于充分的重视。一、知识整合1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求
2、值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化3注重三角函数与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合问题.二、典型例题分析例1扇形的中心角为，半径为 ，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？解：设圆及与圆的半径分别为，则，得，令，当，即时，圆的
3、半径最大，圆的面积最大，最大面积为例2、（05天津）已知，求及【解析】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故由和式得，因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即由可得由于，且，故a在第二象限于是，从而以下同解法一【点评】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形例3：设0，曲线x2siny2cos1和x2cosy2sin1有4个不同的交点.（1）求的取值范围；（2）证明这4个
4、交点共圆，并求圆半径的取值范围.解：（1）解方程组，得故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，（0）0.（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i1，2，3，4），则：xi2yi22cos（，2）（i1，2，3，4）.故四个交点共圆，并且这个圆的半径rcos（）.评注：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.例4：设关于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解、.()求的取值范围; ()求tan()的值.解: ()sinxcosx2(sinxcosx)2 sin(x), 方程化为sin(x). 方程sinx
5、cosxa0在(0, 2)内有相异二解, sin(x)sin .又sin(x)1 (当等于和1时仅有一解), |1 . 且. 即|a|2且a. a的取值范围是(2, )(, 2). () 、 是方程的相异解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sinsin0, 又sin0, tan.tan().【点评】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2)这一条件.例5 已知函数的最小正周期为，其图像过点.() 求和的值;() 函数的图像可由（xR）的图像经过怎样的变换而得到?解: () 函数的最小正周期为， .
6、 . . 的图像过点, , 即., .()先把的图像上所有点向左平移个单位(纵坐标不变),得到函数的图像,再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数的图像.【点评】三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的.例6、（xx年湖南卷文16）已知函数求：(I)函数的最小正周期；(II)函数的单调增区间解：（I）函数的最小正周期是；（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）【点评】本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力例7 、已知：（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到
7、；（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、，试求A4的坐标。解：（1） 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 （2）函数图象的对称中心为， 由得函数的对称中心为， 依次取1，2，3，4可得A1、A2、A3、A4各点，A4的坐标为 例8、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BCa，ABC，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（1）用a，表示S1和S2；（2）当a固定，变化时，求取最小值时的角解（1） 设正方形边长为x. 则BQ （2）当固定，变化时，令 令
8、任取，且，是减函数取最小值，此时三、方法总结与xx年高考预测1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1cos2xsin2xtanxcotxtan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x2cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x；配凑角：（），等。（3）升幂与降幂。（4）化弦（切）法。（5）引入辅助角。asinbcossin()，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代
9、换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。5高考考点分析xx2xx年各地高考中本部分所占分值在1420分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期
10、、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。四强化训练一、选择题: 1(xx年全国高考题)函数f (x) | sin xcos x |的最小正周期是 （ ）A B C D22若的终边所在象限是 （ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数，则下列判断正确的是（ ） （A）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 （B）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 （C）此函
11、数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 （D）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是4在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）ABCD5函数的部分图像如图所示，则函数表达式为 （ ）6）函数的部分图像如图所示，则函数表达式为 （ ）（A） （B）（C） （D） 【思路点拨】本题考查正弦曲线的图象变换，考查图与形的等价转换能力. 只要由已知图形依次确定、，而的确定是解决本题的难点，必须用最高点或最低点进行处理.【正确解答】解法1：由函数图象可知，函数过点，振幅，周期，频率，将函数向右平移6个单位，得到.选A解法2：由函数图象可知，函数过点，振幅，周期，频率，这时，又因
12、为图象过点，代入得，.当时，而,当时，而,无解.选A.解法3：可将点的坐标分别代入进行筛选得到.选A.【解后反思】一般地，如果由图象来求正弦曲线的解析式时，其参数、的确定：由图象的最高点或最低点求振幅，由周期或半个周期（相邻最值点的横坐标间的距离）确定，考虑到的唯一性，在确定、的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式，在给定的区间内求出的值.244（A） （B）（C） （D） 6设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）（A）（B）（C）（D） 7将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）A B CD8已知k4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k19.使（0）在区间0，1至少出现2次最大值，则的最小值为（ ）ABCD10. 在ABC中，sinA，cosB，则cosC等于 （ ）A BC 或D
