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1、2015 11 28 1 测量数据处理理论与方法测量数据处理理论与方法 现代测量数据处理理论 现代测量数据处理理论 黄海兰黄海兰 武汉大学测绘学院 孙 海燕 武汉大学测绘学院武汉大学测绘学院 2015年年11月月22日日 第一节 概述第一节 概述 一 最小二乘平差的数学模型与解算一 最小二乘平差的数学模型与解算 BXL 0 0 12 0 2 0 QPQDDE 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 0 X引入参数的近似值 则引入参数的近似值 则 令令xXX 0 0 BXLl 得 得 Bxl 误差方程 误差方程 lxBV 参数估值 参数估值 PlBPBBx TT1 0 utBrankPBBT PV
2、V T 平差准则 平差准则 min PVV T 法方程 法方程 PlBxPBB TT 单位权方差 单位权方差 tn PVV 2 0 参数协因数阵 参数协因数阵 1 PBBQ T xx 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 2 二 基准不足的平差问题 秩亏自由网平差二 基准不足的平差问题 秩亏自由网平差 1 使得使得 1 秩秩亏 起亏 起算数据算数据不足 不足 utBrankPBBT 0 的原因的原因 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 2 基准的作用与形式 基准的作用与形式 3 基准不同与有什么变化 基准不同与有什么变化 秩秩算数据算数据 2 形亏 观测数据不足 形亏 观测数据不足
3、x xx Q 4 基准不同平差的其它量有什么变化 基准不同平差的其它量有什么变化 5 基准如何变换 基准如何变换 武汉大学测绘学院黄海兰 三 平差参数三 平差参数 1 滤波 滤波 参数为与观测值参数为与观测值有函数关系有函数关系的的随机变量随机变量 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 非随机变量随机变量非随机变量随机变量 0 XBXL 2 推估 推估 参数为与观测值参数为与观测值无函数关系无函数关系的的随机变量 四 观测值 随机变量 四 观测值协方差阵奇异协方差阵奇异的平差问题的平差问题 3 配置 配置 同时含有同时含有随机随机与与非随机参数非随机参数 GYXBXL 0 1 导致的原因 导致
4、的原因0 D 2 平差准则的确定 平差准则的确定 五 最小二乘平差的统一理论五 最小二乘平差的统一理论 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 3 问题的提出 问题的提出 经典平差 间接平差 数学模型为 经典平差 间接平差 数学模型为 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 第二节 秩亏自由网平差第二节 秩亏自由网平差 1 1 221 00 nt LB XE LBX D LQP 或 高斯高斯 马尔科夫模型马尔科夫模型 min PVV T TT B PBxB Pl VBxl T R B PBR Bt 1 TT xB PBB Pl 满秩平差的条件 具有足够的起算数据满秩平差的条件 具有足够的起
5、算数据 没有足够的起算数据没有足够的起算数据 秩亏自由网平差秩亏自由网平差 武汉大学测绘学院黄海兰 右图为一简单水准网 各段路线右图为一简单水准网 各段路线长度相等长度相等 高差为 高差为等权等权观测 观测 假定假定x3的高程已知的高程已知 误差方程为 误差方程为 11 1 22 10 11 vl x vl 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 22 2 33 11 01 vl x vl 3 23 12 13 1 VB xl 因因B中二阶行列式 中二阶行列式 01 11 01 2R B 法方程为法方程为 故故 即即B为列满秩阵为列满秩阵 法方程为法方程为 21 12 T xB l 2 T R
6、B B T B B 即为即为满秩方阵满秩方阵 法方程有唯一解 法方程有唯一解 1 TT xB BB l 经典自由网平差经典自由网平差 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 4 右图为一简单水准网 各段路线长度相等 高差为等权观测 右图为一简单水准网 各段路线长度相等 高差为等权观测 假定假定x3点的平差值点的平差值 0 333 XXx 令令 0 XX则有则有 3 0 x 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 令令 33 XX则有则有 3 0 x 函数模型为 函数模型为 111 222 333 101 110 011 vxl vxl vxl 附有限制条件附有限制条件的的 无起始高程无起始
7、高程 1 23 3 0010 x x x 即x 0 的的间接平差间接平差 给定起始高程给定起始高程 武汉大学测绘学院黄海兰 右图为一简单水准网 各段路线长度相等 高差为等权观测 右图为一简单水准网 各段路线长度相等 高差为等权观测 若网中若网中无起始高程无起始高程 函数模型为函数模型为 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 函数模型为函数模型为 111 222 333 101 110 011 vxl vxl vxl 1 x 附有限制条件的间附有限制条件的间接接 无起始高程无起始高程 101 01 23 3 0010 x x 即x 0 接接平差平差 给定起始高程给定起始高程 0 1 0 10 1
8、1 B01 11 01 故 故 B为为列秩亏阵列秩亏阵 23R B 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 5 法方程系数阵 法方程系数阵 03 21 12 01 1 21 12 BBN T 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 21 211 2 T R NR B BR B 1 N 凯利逆不存在凯利逆不存在 法方程法方程没有唯一解没有唯一解 秩亏自由网平差秩亏自由网平差 武汉大学测绘学院黄海兰 第二节 秩亏自由网平差第二节 秩亏自由网平差 一 平差原理 基准的概念 一 平差原理 基准的概念 考虑误差方程考虑误差方程 lxBV 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 考虑误差方程考虑误差方程
9、 式中式中 lxBV 秩亏数 秩亏数 utBrank tud WNPlBPBB TT 必要观测数 参数个数必要观测数 参数个数tu 法方程法方程WxNPlBxPBB TT 法方程法方程 由于 由于0 NutBrankNrank 所以所以误差方程的最小二乘解不唯一 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 6 秩亏数的计算秩亏数的计算 产生秩亏的原因 产生秩亏的原因 缺少必要的起算数据 平差问题的基准 缺少必要的起算数据 平差问题的基准 秩亏数秩亏数d 网形中网形中缺少的必要起算数据 基准 个数缺少的必要起算数据 基准 个数 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 独立网的经典测量平差 经典自
10、由网 独立网的经典测量平差 经典自由网 起算数据 基准 起算数据 基准 水准网 水准网 一点的高程 一点的高程 1 1d 武汉大学测绘学院黄海兰 边角网 导线网 边角网 导线网 一点坐标 一边方位 一点坐标 一边方位 3 测角网 测角网 一点坐标 一边方位 一边边长 或两点坐标 4 一点坐标 一边方位 一边边长 或两点坐标 4 1d 3d 4d 基准的表现形式 基准的表现形式 1 起算数据 起算数据 2 约束方程 约束方程 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 对测角网 对测角网 设设1 2号点为已知点号点为已知点 取 取所有点坐标 为待定参数 所有点坐标 为待定参数 则须增加限制条件 则须增
11、加限制条件 取为已知值 取为已知值 限制条件为限制条件为 0 2 0 2 0 1 0 1 YXYX 0 1 x 武汉大学测绘学院黄海兰 限制条件为限制条件为 0 0 0 2 2 1 1 y x y 2015 11 28 7 秩亏自由网的基准约束条件 秩亏自由网的基准约束条件 0 1 u uu x T ud xPS 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 S其中满足 且 其中满足 且 dSrank 0 BS 的计算 的计算 S 0B1 方程方程的基础解系的基础解系 x P 基准权基准权 0 Bx1 方程方程的基础解系的基础解系 2 方程的基础解系 方程的基础解系0 Nx 3 矩阵的 矩阵的零特征值
12、零特征值对应的特征向量对应的特征向量N xNx 武汉大学测绘学院黄海兰 秩亏自由网平差归结为 秩亏自由网平差归结为 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 min PVV T lxBV 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差 与的含义见后续内容与的含义见后续内容S x P 秩亏自由网平差应用秩亏自由网平差应用 0 xPS x T lxBV 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差 1 变形监测 变形监测 2 控制网的零级优化设计 控制网的零级优化设计 秩亏自由网平差应用秩亏自由网平差应用 武汉大学测绘学院黄海兰 2015 11 28 8 二 解算二 解算 由由得 022 x TTT P
13、SKPBV 0 令 令 min 2 xPSKPVV x TTT 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 法方程为 法方程为 x 0 SKPPVB x T 化简后得 化简后得 2 0 1 xPS PlBSKPxPBB x T T x T lxBV 00 KSKPS PlBSSKPSxPBBS PlBSSKPSxPBBS x T T x TT TT x TTT 武汉大学测绘学院黄海兰 将左乘 将左乘 1 T S 0 0 SPx WxPSSPN PlBxPSSPPBB x T x T x T x T 2 式式左乘左乘与 与 1 相加得 且 相加得 且K 0 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 2 0
14、 1 xPS PlBSKPxPBB x T T x T 则 令 则 令 xx 可以证明 可以证明 uPSSPNrank x T x 1 x T xP PSSPNQ WQx P x 1 P Q PPP T Pxx NQQPQPBQBQQ 由 得 由 得 Px T xPPxx QPSSPQQQ 武汉大学测绘学院黄海兰 TT PxxPPxx QNP SS PEQ NEQ P SS P 2015 11 28 9 1 SPSSSPQSSPSSPQNSQ EPSSPQNQEPSSPNQ x T xPx T xPP x T xPPx T xP 另 另 TTT11 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 右乘右
15、乘S 0 则 选择使 并记此时的为 所以 则 选择使 并记此时的为 所以 S T Pxx GGQQ 单位权方差因子单位权方差因子 T x T x T Pxx SSPSSPSSQQ 11 ESPS x T GS 单位权方差因子单位权方差因子 式中 式中 tn PVV T 2 0 Brankt 武汉大学测绘学院黄海兰 取 平差模型为 取 平差模型为 三 重心基准的秩亏自由网平差三 重心基准的秩亏自由网平差 EPx 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 min PVV T 1 T xNP SS P 1 T r SSNQ WSSNx T1 令令 则则 r T rrxx QSSQQQ 0 xS T lx
16、BV xx xNP SS P Px T xPPxx QPSSPQQQ 取取 EGGGS T rrrxx QQQQ 得得 T rxx GGQQ 武汉大学测绘学院黄海兰 T Pxx GGQQ 2015 11 28 10 一 广义逆矩阵一 广义逆矩阵 A 补充知识 广义逆与线性方程组解补充知识 广义逆与线性方程组解 1定义定义 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 设设A为为n m矩阵 矩阵 秩秩R A r min m n 若有若有m n矩 阵 矩 阵G 满足方程 满足方程 1 定义定义 AGA A A的广义逆 记为的广义逆 记为A 不唯一不唯一 仅当仅当A为为m n阶阶非奇异方阵非奇异方阵时 时 A 1 A 唯一唯一 武汉大学测绘学院黄海兰 2 A 型广义逆的性质型广义逆的性质 1 TT AA TT AA 1 第二章 最小二乘平差的统一理论和方法 2 3 幂等幂等 4 5 若矩阵若矩阵P正定正定则则 A k kA 1 0 kOkA 0 k AAAAAA TT TTTT AAAAAA AAAA 2 APAAPAAA TT A A 5 若矩阵若矩阵P正定正定 则则 6 G为的广义逆 则也是的广
