第十章圆锥曲线与方程

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1、第十章 圆锥曲线 考点 1 椭圆 1 2018 全国 12 已知 1 2是椭圆 2 2 2 2 1 0 的左 右焦点 是 的 左顶点 点 在过 且斜率为 3 6 的直线上 1 2为等腰三角形 1 2 120 则 的离 心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 1 D 因为 1 2为等腰三角形 1 2 120 所以 PF2 F1F2 2c 由 斜率为 3 6 得 tan 2 3 6 sin 2 1 13 cos 2 12 13 由正弦定理得 2 2 sin 2 sin 2 所以 2 1 13 sin 3 2 1 13 3 2 12 13 1 2 1 13 2 5 4 1 4 选 D

2、 2 2017 新课标 10 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右顶点分别为 A1 A2 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切 则 C 的离心率为 A B C D 2 A 以线段A1A2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切 原点到直线的距离 a 化为 a2 3b2 椭圆 C 的离心率 e 故选 A 3 2017 浙江 椭圆 1 的离心率是 A B C D 3 B 椭圆 1 可得 a 3 b 2 则 c 所以椭圆的离心率为 故选 B 4 2016 浙江 7 已知椭圆 C1 x 2 m2 y 2 1 m 1 与双曲线 C2 x 2 n2 y 2 1 n 0 的焦

3、点重合 e1 e2分别为 C1 C2的离心率 则 A m n 且 e1e2 1 B m n 且 e1e2 1 C m n 且 e1e2 1 D m n 且 e1e2 1 更多免费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 4 A 由题意可得 m2 1 n2 1 即 m2 n2 2 又 m 0 n 0 故 m n 又 e21 e22 m 2 1 m2 n2 1 n2 n 2 1 n2 2 n2 1 n2 n 4 2n2 1 n4 2n2 1 1 n4 2n2 1 e1 e2 1 5 2016 全国 11 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C x 2 a2 y2 b

4、2 1 a b 0 的左焦点 A B 分别为 C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且 PF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M 与 y 轴交于点 E 若直线 BM 经过 OE 的中点 则 C 的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 5 A 设 M c m 则 E 0 am a c OE 的中点为 D 则 D 0 am 2 a c 又 B D M 三点共线 所以 m 2 a c m a c a 3c e 1 3 6 2018浙江 17 已知点 P 0 1 椭圆 2 4 y2 m m 1 上两点 A B 满足 2 则当 m 时 点 B横坐标的绝对值最大 6

5、 5 设 1 1 2 2 由 2 得 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 因 为 A B 在 椭 圆 上 所 以 12 4 1 2 22 4 2 2 4 22 4 2 2 3 2 22 4 2 3 2 2 4 与 22 4 2 2 对应相减得 2 3 4 2 2 1 4 2 10 9 4 当且仅 当 5时取最大值 7 2016 江苏 10 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 F 是椭圆x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 的右焦点 直线 y b 2与椭圆交于 B C 两点 且 BFC 90 则该椭圆的离心率是 7 6 3 联立方程组 x2 a2 y2 b2 1 y b 2 解得

6、 B C 两点坐标为 B 3 2 a b 2 C 3 2 a b 2 又 F c 0 则FB 3 2 a c b 2 FC 3a 2 c b 2 又由 BFC 90 可得FB FC 0 代入坐标可得 c2 3 4a 2 b 2 4 0 更多免费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 又因为 b2 a2 c2 代入 式可化简为c 2 a2 2 3 则椭圆离心率为 e c a 2 3 6 3 8 2018 全国 20 已知斜率为 的直线 与椭圆 2 4 2 3 1交于 两点 线段 的 中点为 1 0 1 证明 1 2 2 设 为 的右焦点 为 上一点 且 0 证

7、明 成等 差数列 并求该数列的公差 8 1 设 1 1 2 2 则 1 2 4 12 3 1 22 4 22 3 1 两式相减 并由 1 2 1 2 得 1 2 4 1 2 3 0 由题设知 1 2 2 1 1 2 2 于是 3 4 由题设得0 3 2 故 1 2 2 由题意得 1 0 设 3 3 则 3 1 3 1 1 1 2 1 2 0 0 由 1 及题设得 3 3 1 2 1 3 1 2 2 b 0 的左焦点为 F 上顶点为 B 已知椭圆的离 心率为 5 3 点 A 的坐标为 0b 且6 2FBAB I 求椭圆的方程 II 设直线 l 0 ykx k 与椭圆在第一象限的交点为 P 且 l

8、 与直线 AB 交于点 Q 若 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ O 为原点 求 k 的值 9 设椭圆的焦距为 2c 由已知有 2 2 5 9 c a 又由 a2 b2 c2 可得 2a 3b 由已知可得 FBa 2ABb 由6 2FBAB 可得 ab 6 从而 a 3 b 2 所以 椭圆的方程为 22 1 94 xy 设点 P 的坐标为 x1 y1 点 Q 的坐标为 x2 y2 由已知有 y1 y2 0 故 12 PQ sin AOQyy 又因为 2 y AQ sin OAB 而 OAB 4 故 2 2AQy 由 5 2 4 AQ sin AOQ PQ 可得 5y1 9y2 由方程组

9、22 1 94 ykx xy 消去 x 可得 1 2 6 94 k y k 易知直线 AB 的方程为 x y 2 0 更多免费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 由方程组 20 ykx xy 消去 x 可得 2 2 1 k y k 由 5y1 9y2 可得 5 k 1 2 3 94k 两边平方 整理得 2 5650110kk 解得 1 2 k 或 11 28 k 所以 k 的值为 1 2 或 11 28 10 2017 江苏 17 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 E 1 a b 0 的 左 右焦点分别为 F1 F2 离心率为 两准线之间的距离为

10、 8 点 P 在椭圆 E 上 且位于第一象限 过点 F1作直线 PF1的垂线 l1 过点 F2作直线 PF2的垂线 l2 求椭圆 E 的标准方程 若直线 l1 l2的交点 Q 在椭圆 E 上 求点 P 的坐标 10 1 设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 所以 1 2 c a 2 2 8 a c 解得2 1ac 于是 22 3bac 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 2 由 1 知 1 1 0F 2 1 0F 设 00 P xy 因为点P为第一象限的点 故 00 0 0 xy 当 0 1x 时 2 l与 1 l相交于 1 F 与题设不符 更多免

11、费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 当 0 1x 时 直线 1 PF的斜率为 0 0 1 y x 直线 2 PF的斜率为 0 0 1 y x 因为 11 lPF 22 lPF 所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y 直线 2 l的斜率为 0 0 1x y 从而直线 1 l的方程 0 0 1 1 x yx y 直线 2 l的方程 0 0 1 1 x yx y 由 解得 2 0 0 0 1 x xxy y 所以 2 0 0 0 1 x Qx y 因为点Q在椭圆上 由对称性 得 2 0 0 0 1x y y 即 22 00 1xy 或 22 00 1xy

12、 又P在椭圆E上 故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 解得 00 4 73 7 77 xy 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 无解 因此点P的坐标为 4 7 3 7 77 11 2016 全国 20 已知椭圆 E x2 t y 2 3 1 的焦点在 x 轴上 A 是 E 的左顶点 斜率为 k k 0 的直线交 E 于 A M 两点 点 N 在 E 上 MA NA 1 当 t 4 AM AN 时 求 AMN 的面积 2 当 2 AM AN 时 求 k 的取值范围 11 解 1 设 M x1 y1 则由题意知 y1 0 当 t 4

13、时 E 的方程为x 2 4 y2 3 1 A 2 0 由 AM AN 及椭圆的对称性知 直线 AM 的倾斜角为 4 因此直线 AM 的方程为 y x 2 将 x y 2 代入x 2 4 y2 3 1 得 7y 2 12y 0 解得 y 0 或 y 12 7 所以 y1 12 7 因此 AMN 的面积 S AMN 2 1 2 12 7 12 7 144 49 更多免费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 2 由题意 t 3 k 0 A t 0 将直线 AM 的方程 y k x t 代入x 2 t y 2 3 1 得 3 tk 2 x2 2 t tk2x t2

14、k2 3t 0 由 x1 t t 2k2 3t 3 tk2 得 x1 t 3 tk2 3 tk2 故 AM x1 t 1 k2 6 t 1 k 2 3 tk2 由题设 直线 AN 的方程为 y 1 k x t 故同理可得 AN 6k t 1 k2 3k2 t 由 2 AM AN 得 2 3 tk2 k 3k2 t 即 k 3 2 t 3k 2k 1 当 k 32时上式不成立 因此 t 3k 2k 1 k3 2 t 3 等价于k 3 2k2 k 2 k3 2 k 2 k 2 1 k3 2 0 即 k 2 k3 20 k3 2 0 或 k 20 解得 3 2 kb 0 的两个焦点与短轴的一个端点是

15、直角三角 形的三个顶点 直线 l y x 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T 1 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标 2 设 O 是坐标原点 直线 l 平行于 OT 与椭圆 E 交于不同的两点 A B 且与直线 l 交于点 P 证明 存在常数 使得 PT 2 PA PB 并求 的值 12 1 解 由已知 a 2b 则椭圆 E 的方程为 x2 2b2 y2 b2 1 由方程组 x 2 2b2 y2 b2 1 y x 3 得 3x2 12x 18 2b2 0 方程 的判别式为 24 b2 3 由 0 得 b2 3 此时方程 的解为 x 2 所以椭圆 E 的方程为x 2 6 y2 3 1 点 T

16、 的坐标为 2 1 2 证明 由已知可设直线 l 的方程为 y 1 2x m m 0 由方程组 y 1 2x m y x 3 可得 x 2 2m 3 y 1 2m 3 所以 P 点坐标为 2 2m 3 1 2m 3 PT 2 8 9m 2 设点 A B 的坐标分别为 A x1 y1 B x2 y2 更多免费资源 请关注微信公众号 学未已 微信号 Xu e We i Yi 2021 由方程组 x2 6 y2 3 1 y 1 2x m 可得 3x2 4mx 4m2 12 0 方程 的判别式为 16 9 2m2 由 0 解得 3 2 2 m 0 0 的离心率为 3 则其渐近线方程为 A 2 B 3 C 2 2 D 3 2 3 A 3 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 因为渐近线方程为 所以渐近线方程为 2 选 A 4 2018 全国 11 设 1 2是双曲线 2 2 2 2 1 的左 右焦点 是 坐标原点 过 2作 的一条渐近线的垂线 垂足为 若 1 6 则 的离心率为 A 5 B 3 C 2 D 2 4 B 由题可知 2 2 PO a 在Rt PO 2中 cos P 2O 2 2