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1、关于二次EEMD的时频分析1、相关定义1.1、Wigner-Ville 分布的定义和基本性质 3.1.1 Wigner-Ville 分布的定义3.1.1 Wigner-Ville 分布的定义 Wigner-Ville 分布(Wigner-Ville Distribution,WVD)是由 Ville 在 1948 年提出 的,它能在时域和频域中同时揭示信号能量的分布,物理意义明确,是最常用的双 线性时频分布之一,并被看作是一大类分布的原型。近年来,凭借着其较好的时频 聚集性和较高的时频分辨率,WVD 被广泛应用于信号分析和处理领域,尤其是对非 平稳信号的处理方面371638-41。WVD 在时
2、域和频域有两种表示方式,分别如下: WVD (t , ) = 1 +* x (t 1 ) x (t +1) e i x2 2 2d(3-1) WVD (t , ) = 1 + X * ( 1 ) X ( +1)e i x2 2 2d(3-2) 由 WVD 的时域表达式可以看出,在时域范围内,一个信号在某一时刻的 Wigner-Ville 分布就是将该点过去和未来的信号等长度地做积后对结果进行傅里叶变 换,因此,这个结果可以可以反映信号的时频特性。 1.2、EMD 基本概念 在介绍经验模态分解算法的基本原理之前,要了解一下经验模态分解中所涉 及到的一些概念及其特征,主要包括时间序列信号和本态模征
3、函数。 1. 时间序列信号 对于任意一个给定的时间序列信号 z (t ),本文可以把它表示成复数和极坐标 两种形式。其复数形式为: z (t ) x( t ) jx ( t )(2-1) 其中, x (t )为时间序列信号 z ( t )的实部, x ( t )为时间序列信号 z (t )的虚部。 其极坐标形式为: z (t ) a (t )ej ( t)(2-2) 因为实时间序列信号的频谱共扼对称,所以通常情况下会把新建序列信号中 的负频信号部分剔除,且为了保证原始信号的能量值不发生变化,通常会对剩余 正频信号进行加倍处理。则时间序列信号 z (t )的频谱转化为: 2X ( f ) , f
4、0 z ( f ) X ( f ) , f0(2-3) 0 , f 0 如果 H ( f )是奇对称的阶跃函数,那么有 10 1.3、EEMD的基本概念及原理 3.2.1 EEMD的发展及应用3.2.1 EEMD的发展及应用 总体经验模态分解方法是一种在经验模态分解方法基础上最近才提出的改进算法, 由于其在解决EMD的混频方面取得明显效果,一经提出得到广大学者的青睐而被广泛 应用到各个领域中。 在气候领域,文献23中,作者运用EMD和EEMD两种分解方法,分解多年的气 象数据,包括风力、温度和气压等气候信息,经过分解后得到各MF,再从中找出异常 气候的年度调制周期。论文经过大量的研究表明,该方
5、法得到理想的预期结果。文献24 中,采用新型的总体经验模态分解方法,根据从1756年到2000年之间在斯德哥尔摩的 温度记录自适应的确定春季到来的时间。文中分析了春天到来时间的长期变化以及其与 北大西洋震荡和温度变异之间的关系,经分析发现冬季北大西洋震荡情况与斯德哥尔摩 春天到来时间之间有一定的内在关系,但是对于长期变化趋势无从确定。文献25采用 自适应数据处理方法EEMD分解法来处理154年来旧金山的海平面数据,分析得到海平 面长期变化的趋势、最近的变化以及其他一些信息。其中分解后的最低频率模式就是对 应的长期趋势,下一个最高模式对应100年期间的振荡,这种振荡与太阳的变化有可能 有关系。下
6、一个较低的模式对应代表年代际时间尺度,因此包括太平洋年代际振荡。 在工程领域,文献26应用EEMD方法对轨道-车辆系统中,钢轨不平顺的波长-幅 值分布及短波不平顺的分布进行研究,研究发现,对加速度信号进行EEMD分解结果能 很好的反映钢轨不平顺幅值变化及所在空间位置等重要信息。文献27采用基于EEMD 分解方法对电能质量扰动信号分解得到固有模态分量,然后对其进行希尔伯特黄变换, 确定非平稳电能扰动信号的时间、频率和幅值等信息,能够很好的对电能质量扰动进行 检测。 西南交通大学硕士研究生学位论文第20页 在故障诊断领域,文献28中使用了基于EEMD分解方法的旋转机械故障诊断技术, 通过对比EMD
7、和EEMD在抽取旋转机械故障特征信号中的优缺点,发现EEMD是一 种更好的分析处理方法,能够有效的避免EMD的模态混叠现象。此外,EEMD方法被 用来对轴承的故障识别2933”、对内燃机的噪声识别31、对旋转机械的故障诊断32、对 齿轮箱的故障监测333P4、对柴油机机械故障的诊断35、对电力系统的故障监测中36。 此外,在文献37中,利用EEMD方法对舒张期心音进行分析提取特征值研究,更 加清晰的揭示了冠脉狭窄舒张期心音信号的病理特点,为危害人类健康的冠心病早期监 测提供了新的监测方法;在文献38中,把EEMD应用到对水文时间序列的多尺度研究 中,得到很好的效果;在文献20中,通过EEMD分
8、解得到车内语音信号的各阶MF值, 此时噪声和语音信息分处于不同的IMF中,再采用非线性最小二乘估计和信噪比相结合 的方式,确定主要包含语音信息的固有模态函数的权系数,并利用该系数对相应的MF 进行加权合并处理,这样便得到消噪之后的语音信号,也就是加强了有用的语音信号。 文献实际研究发现,该方法效果很好,语音质量得到很大提升。 1.4、EEMD 的基本概念及原理 3.3.1 模态混叠和 EEMD 方法的提出3.3.1 模态混叠和 EEMD 方法的提出 上面一节主要叙述了 EMD 方法的基本概念及原理,EMD 方法是按照信号自身的特 性将其分解为一系列完备的、自适应的和近似正交的本征模分量,能够有
9、效的提取出信 号的本质特征55,被广泛应用于机械信号处理与故障诊断中。但是通过 EMD 方法分解 得到的 IMF 存在模态混叠的现象。EMD 方法在实际的应用中出现的模态混叠的问题是 指单一的 IMF 中包含了几个完全不同的频率成分,换句话说,就是同一频率成分的分量 被分解到了截然不同的本征模分量中去了。造成模式混叠现象的主要原因是信号的不连 续,这种不连续使得经过 EMD 方法分解得到的 IMF 不具有真实的物理意义,从而影响 到后续的信号处理与分析。针对 EMD 方法中存在的这一问题,Huang 通过利用高斯白 噪声提出了总体平均经验模式分解(Ensemble empirical mode
10、 decomposition ,EEMD)方 法,从而克服了 EMD 固有模态混叠问题。 为了更直观的表达 EMD 方法分解过程中出现的模态混叠现象,根据齿轮箱振动信 号特点,仿真一个由采样频率为200Hz以及采样点数为1200的正弦波 x t sin t 与 小幅冲击成分叠加而成的信号,通过 EMD 方法分解得到 7 个 IMF,将最后 4 个 IMF 加 起来组成一个 IMF,仿真结果如图 3.5。 仿真信号 2 0 幅值-20 1 2 3 4 5 6 1 1F0 IM-10 1 2 3 4 5 6 0.5 2F0 IM-0.50 1 2 3 4 5 6 1 3F0 IM-10 1 2 3
11、 4 5 6 2 4F0 IM-20 1 2 3 4 5 6 时间/s 图 3.5 EMD 分解仿真信号出现的模态混叠 25 从图 3.5 可以看出,模态混叠问题导致了通过 EMD 方法分解得到的 IMF 出现了明 显的畸变:正弦波和小幅冲击信号被分解到了同一个 IMF 中。 1.5、二次剩余的概念及性质 定义 2.1.1 8 设素数p 2,d是整数,p d.如果同余方程 x2 d(modp) (1.1) 有解,则称d是模p的二次剩余;若无解,则称d是模p的二次非剩余. 2 赋范二次剩余码 例如:当p = 7时,d 1,2,?3(mod7) 都是模7的二次剩余;d ?1,?2,3(mod7)都
12、 是模7的二次非剩余. 定理 2.1.1 9设p为奇素数,模p的完全剩余系中有2(p ? 1)个二次剩余, 1 有2(p ? 1)个二次非剩余,且 1 12,22, ,(1(p ? 1)2 2 即为所有的模p的二次非剩余. 证明: 若同余方程(1.1)有解,则至多有两个解.由 (p ? x)2 (?x)2 n(modp) 可知,(1.1)式必有一根适合 1 1 x (p ? 1) (1.2) 2 又因为 a2 ? b2 = (a + b)(a ? b) 当a2 b2(modp)时,a+b与a-b中必有一数是p的倍数,由此可知 1 12,22, ,(2(p ? 1)2 模p两两不同余,故得定理.
13、 例 2.1.1 求模13的二次剩余. x : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 x2 : 1,4,9,3,12,10,10,12,3,9,4,1 (mod13) 可以看出,就模13来说,二次剩余为1,3,4,9,10,12;二次非剩余为2,5,6,7,8,11. 3 赋范二次剩余码 定理 2.1.2 8 (Euler判别条件) 设素数p 2,p d.那么,d是模p的二次剩 余的充要条件是 d p?1 2 1(modp); (1.3) d是模p的二次非剩余的充要条件是 d p?1 2 ?1(modp). (1.4) 证明: 由Fermat-Euler定理知,当p d,即(d
14、,p) = 1时,有 dp 1(modp), ?1 因而有 (d p?1 p?1 2 ? 1)(d 2 + 1) 0(modp) (1.5) 所以(1.5)式左边必有一个因子被p整除,而且只有一个因子被p整除,否则, p | (dp?1 p?1 2 + 1) ? (d 2 ? 1) ? p | 2, 这与p为奇素数矛盾. 所以对于任何(p,d) = 1的d来说,同余式(1.3)(1.4)有且仅有 一式成立.若d是模p的二次剩余,则必有x0使得 x20 d(modp), 因而有 xp0 d ?1 p?1 2 (modp). 因为p d,所以p x0,因此由Fermat-Euler定理知 xp0
15、1(modp). ?1 由以上两式就推出式(1.3)成立.也就是说模p的缩系中的p2 个二次剩余都是 ?1 x p?1 2 1(modp) 的解.因为 x p?1 2 1(modp) 4 赋范二次剩余码 的解不超过p2 个,且由Euler定理知 ?1 xp?1 2 1(modp) 有p ? 1个解,所以说模p 的缩系中另p2 个解都是 ?1 dp?1 2 ?1(modp) 的解,它们是模p的二次非剩余.证毕. 由定理2.1.2立即推出两个有用的结论. 推论 2.1.1 9 当p 1(mod4)时,?1为模p的二次剩余; 当p ?1(mod4)时,?1为模p的二次非剩余. 推论 2.1.2 8
16、设素数p 2,p d1,p d2。那么, (1)若d1,d2均为模p的二次剩余,则d1d2也是模p的二次剩余; (2)若d1,d2均为模p的二次非剩余,则d1d2是模p的二次剩余; (3)若d1是模p的二次剩余,d2是模p的二次非剩余,则d1d2是模p的二次非剩 余. 1.6、二次设备的定义 电气设备可分为一次设备和二次设备。直接用于生产和使用电能,比控制回 路电压高的电气设备称为一次设备。监察、测量、控制、保护、调节一次设备的 辅助型设备,称为二次设备。二次设备的主要类型多种多样,且根据领域的不同 而各有差异,在电力行业中二次设备主要包括测量、绝缘监察、备自投、继保等 方面。 3.2测量表计 测量装置一直属于电
