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1、线性代数 第4章 向量空间 - 习题详解 ?AT(II)无解?r?T?b?AT?0?AT?r?T?1?r(A)?1?r?T?1 1?b?b?AT?r(A)?r?T?r(A)?r?Ab?（I）有解 ?b? 27. 设线性方程组 ?a11x1?a12x2?a1nxn?b1?(I) ? ?ax?ax?ax?bm22mnnm?m11?a11y1?a21y2?am1ym?0?(II) ? ?ay?ay?ay?02n2nmm?1n1(III) b1y1?b2y2?bmym?0 证明：方程组（I）有解?方程组（II）的解都是方程组（III）的解. 证 记A?(aij)m?n， x?(x1,x2,?,xn)T
2、，y?(y1,y2,?,ym)T，b?(b1,b2,?,bm)T 则三个方程可写为 TT(I) Ax?b，(II) Ay?0，(III) by?0 因此 ?AT?(I)有解?r(A)?rA,b?r(A)?r?T?(由例5.2) ?b?T?（II）的解都是（III）的解 28. 设齐次方程组 ?x1?x?1?2x2x2?cx2?x3?cx3?2x4?cx4?x4?0?0 ?0解空间的维数是2, 求其一个基础解系. 解 由dimN(A)?n?r(A)知，系数矩阵的秩r(A)?4?2?2. ?1212?101?2c?r?A?01cc?01c?1c01?00(c?1)2? 31 2?2c?c? (c?
3、1)2?由r(A)?2，得c?1. 原方程组的等价方程组为 ?x1?x3 ?x?x?x34?2取 ?x3?1?0?,? ?x4?0?1?得一个基础解系为 1?(1,?1,1,0)T,2?(0,?1,0,1)T 29. 设四元齐次线性方程组 ?x1?x2?0(I) ? x?x?04?2还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为 k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T 求方程组（I）与（II）的公共解. 解法1 将方程组(II)的通解 x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?(?k2,k1?2k2,k1?2k2,k2)T 代入组方程组(I)得到关于k1,k2的线性方程
4、组 ?k2?k1?2k2?0?k1?k2?0 ?k1?2k2?k2?0令k2?k，则k1?k，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为 x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?k(?1,1,1,1)T（k?R） 解法2 易求方程组(I)的基础解系为 ?1?(0,0,1,0)T，?2?(?1,1,0,1)T 其通解为 x?k3?1?k4?2 令两个方程组的通解相等 x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?k3(0,0,1,0)T?k4(?1,1,0,1)T 得关于k1,k2,k3,k4的方程组 32 ?k2?k4?0?k?2k?k?0?124 ?k1?2k2?
5、k3?0?k2?k4?0解之得 k1?k,k2?k,k3?k,k4?k 因此两个方程组公共解为 x?k(0,1,1,0)T?k(?1,2,2,1)T?k(?1,1,1,1)T 30. 设A?(aij)n?n, A?0, 证明：r?n时, 齐次方程组 ?a11x1?a12x2?a1nxn?0? ? ?ax?ax?ax?0r22rnn?r11的一个基础解系为 （j?r?1,?,n） ?j?(Aj1,Aj2,?,Ajn)T，其中Ajk为A的(j,k)元的代数余子式（j,k?1,2,?,n）. 证 由行列式展开定理 ai1Aj1?ai2Aj2?ainAjn?0（i?1,?,r;j?r?1,?,n） 所
6、以?j（j?r?1,?,n）是齐次方程组的解（共n?r个）. 由A?0?齐次方程组系数矩阵的秩为r，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为n?r. 再由A?0?r(A*)?n?A*的n?r个行向量的转置?r?1,?,?n线性无关. 综上可知，?r?1,?,?n是齐次方程组的一个基础解系. 31. 设rankAm?n?r, ?*是非齐次方程组Ax?b的一个特解, 的齐次方程组Ax?0的一个基础解系. 证明 ?1,?2,?,?n?r是其对应?,?*?1,?*?2,?,?*?n?r? 是Ax?b解集V的一个极大无关组, 从而rankV?n?r?1. 证 记 T?*,?*?1,?*?2,?,?*?n?r
7、? 33 显然T中的向量都是Ax?b的解，即T?V. 下面证明T线性无关. 设 k1(?1)?k2(?2)?kn?r(?n?r)?kn?r?1?0 把上式整理为 k1?1?k2?2?kn?r?n?r?(k1?k2?kn?r?kn?r?1)?0 上式两边左乘A得 (k1?k2?kn?r?kn?r?1)b?0 由b?0得 k1?k2?kn?r?kn?r?1?0 往上代入得 k1?1?k2?2?kn?r?n?r?0 由?1,?2,?,?n?r线性无关性得 k1?k2?kn?r?0 再往上代入又得kn?r?1?0. 这说明T是线性无关的向量组. 下面再证明V中的任一向量都可由T线性表示. 由于V中的任
8、一向量都可写为 x?k1?1?k2?2?kn?r?n?r 即 x?(1?k1?k2?kn?r)?k1(?1)?k2(?2)?kn?r(?n?r) 这说明V中的任一向量都可由T线性表示. 32. 已知 综上，向量组T是Ax?b解集V的一个极大无关组，rankS?n?r(A)?1. 1?(b11,b12,?b1,2n)T,2?(b21,b22,?,b2,2n)T,?,n?(bn1,bn2,?,bn,2n)T 是方程组 34 ?a11x1?a12x2?a1,2nx2n?0?ax?ax?ax?0?2112222,2n2n ?.?an1x1?an2x2?an,2nx2n?0的基础解系. 证明 1?(a1
9、1,a12,?a1,2n)T,2?(a21,a22,?,a2,2n)T,?,n?(an1,an2,?,an,2n)T 是方程组 ?b11x1?b12x2?b1,2nx2n?0?bx?bx?bx?0?2112222,2n2n ?bn1x1?bn2x2?bn,2nx2n?0的基础解系. 证 记矩阵 ?1T?1T?T?T?A?2?，B?2? ?T?T?n?n?则方程组（I）和（II）可分别写为 2n（I）Ax?0 和 （II）Bx?0（x?R） n?n?n，从而因为1,2,?,n是方程组Ax?0的基础解系，所以r(A)?21,2,?,n线性无关. 而且，1,2,?,n线性无关，r(B)?n. 因此，
10、方程组Bx?0的基础解系所含解向量的个数为2n?r(B)?n. 由假设 A?1,2,?,n?O?ABT?O?BAT?O ?BAT?O?B?1,2,?,n?O 知1,2,?,n是方程组Bx?0的n个线性无关的解. 因此，1,2,?,n就是方程组Bx?0的一个基础解系. 35 百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆! 第4章 向量空间 4.1 向量及其线性组合 练习4.1 1. 设 ?1?0?3?,?1?,?4? ?1?1?2?3?0?1?0?求?1?2及3?1?2?2?3. ?1?0?1?0?1?解 ?1?2?1?1?1?1?0 ?0?1?0?1?1?1?0?3
11、?3?0?3?0?2?1?4?3?2?4?1? 13?1?2?2?3?3?0?1?0?0?2?0?2? 2. 设 3(?1?)?2(?2?)?5(?3?),求?. 其中 ?2?10?4?5?1?1?1?,?2?,?3? ?1?5?1?310?1? 解 由3(?1?)?2(?2?)?5(?3?)得 ?6?20?20?6?1?11?15?2?5?1?12?2?(3?1?2?2?5?3)? ?310?5183666?9?20?5?24?4? 3. 将线性方程组 ?x1?x2?x3?1?x1?x2?x3?0 ?2x?x?3x?223?1 1 写成向量形式及矩阵形式. 解 向量形式： ?1?1?1?1?
12、x?1?x?1?0? x1?1?2?3?2?1?3?2?矩阵形式： ?111?x1?1?1?11?x?0? ?2?21?3?x3?2? 4. 设?1,?2,?3,?是已知列向量，若?1?2?2?，记矩阵A?1,?2,?3，求线性方程组Ax?的一个解. 解 由?1?2?2?0?3?得方程组Ax?的一个解为 x?1,2,0T 5. 问?是否可由向量组?1,?2,?3,?4线性表示？其中 ?1?1?1?1?1?2?1?1?1?1?（1）?,?1?,?2?,?3?,?4? ?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?2?1?1?1?2?0?1?0?2?2?（2）?,?1?,?2?,?3?,?4? ?0?
13、1?2?4?2?3113?2?解 （1）令 ?1111?11?1?1? A?1,?2,?3,?4?1?11?1?1?1?11?由 2 ?1111?11?1?1?A?1?11?1?1?1?11得Ax?有唯一解x?1?1?02?r?01?1?00100001005/4?01/4? 0?1/4?1?1/4?1T?5,1,?1,?1?，从而?可由向量组?1,?2,?3,?4唯一线性表示： 45111?2?3?4 4444（2）令 ?1?1?10A?1,?2,?3,?4?12?11由 12432?2? 2?2?1?1?10?A?12?11124322222?1?00?r?00?3?00100210020000?0? 1?0?得Ax?无解，从而?不能由向量组?1,?2,?3,?4线性表示. 6. 已知 ?1?1?1?1?1?0?1?1?2?1?,?4?,? ?1?,?2?,?3?2?3?a?2?4?b?3?351a?85?
