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1、第五章 傅里叶变换内容：傅里叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换及其基本性质，函数要求：了解的傅立叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换基本概念及其应用，重点掌握定义在有限区间上函数的傅里叶级数展开和函数5-1 傅里叶级数 一、周期函数的傅里叶展开（简介）1三角函数（正弦和余弦函数）族的正交性1，；，2、周期函数的展开为傅里叶级数以2l为周期，（5.1.1）取上述三角函数族作为基本函数族展开为级数（5.1.2）称为傅里叶级数两个问题：（1）傅里叶级数中的系数； 验证性证明：（5.1.2）两边同乘或再从-l到l积分，（2）级数的收敛性。收敛定理（狄里希利条件）：设函数是以2l为周期的周期函数，如果它满足：若函
2、数 满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点（非无穷间断点）；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点； 则的傅里叶级数收敛，且当x是的连续点，级数收敛于；当x是的间断点，级数收敛于付。3、傅里叶级数的物理意义，随时间变化的周期信号展开为不同频率的简谐振动的叠加。例1（自学）交流电压，经过半波整流，负圧被削减，在一个周期内试研究半波整流电压的傅里叶变换级数要区分k=1和两种情况，二、奇函数和偶函数的傅里叶展开（简介）1奇函数的傅里叶展开若周期函数是奇函数这叫作傅里叶正弦级数。例2（自学）设函数是以2l为周期的周期函数，它在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：是奇函数时，级数收
3、敛于f(x)xl-l-2l2l例3锯齿波在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：2偶函数的傅里叶展开若周期函数是偶函数这叫作傅里叶余弦级数。例4三角波在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：三、定义在有限区间上函数的傅里叶展开（重点）函数只在某个有限区间，如区间（0, l）有定义，在区间以外无定义。周期性延拓扩大函数的定义区间，使其成为某种周期函数，在区间（0, l）上，对作傅里叶级数展开，这个级数在区间（0, l）上代表。延拓的方法可以有无数种。可根据对函数在边界（区间（0, l）的端点）上的行为提出限制。奇延拓，当边界上要求，取为奇的周期函数，展开为傅里叶正弦级数。，偶延拓，当
4、边界上要求，取为偶的周期函数，展开为傅里叶余弦级数。，例5在区间（0, l）定义的函数是，试根据边界条件要求： (1)；(2) ； (3) ；(4) 把它展开为傅里叶级数。f(x)xl-l-2l2l解：(1)，作周期性奇延拓，在-l, l上的表达式为与例3相同的锯齿波相同f(x)xl-l-2l2l(2) ，作周期性偶延拓，在-l, l上的表达式为与例4相同的三角波相同f(x)xl-l-2l2l(3) （难点）要求以为中心作偶延拓，要求以为中心作奇延拓，以4l为周期，在整个数轴上延拓为偶函数，同时又满足在本例中对于本例f(x)xl-l-2l2l(4) （难点）要求以为中心作奇延拓，要求以为中心作
5、奇延拓，以4l为周期，在整个数轴上延拓为奇函数，同时又满足可以证明，满足要求，其中对于本例注意：在本例中（2）的结果也满足（4）的要求，但这只是对函数的巧合，换成其它函数，如，则就不行了。f(x)xl-l-2l2lf(x)xl-l-2l2l四、复数形式的傅里叶级数（简介）复指数函数族5-3 d函数一、d 函数的定义问题：怎样用数学函数表示质点的质量密度、点电荷的电荷密度、瞬时力的冲量密度？例如，均质细杆，质量为m均匀分布在长为l的线段-l/2, l/2上，则其密度可表示为m=1, 杆的质量时，细杆变为处的质点，其密度质点在处，二、函数的主要性质（1）是偶函数（2）阶跃函数与（3）函数的挑选性
6、（4）用函数表示连续分布的物理量到短时间段上的瞬时作用力记为时间区间a, b上的持续力（5）函数的定标性证三、函数是一种广义函数数学物理方程数学物理方程从物理问题中导出的数学偏微分方程，有时也包括积分方程、微分积分方程 。本课程介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关定解问题和这些问题几种常用解法。这三类偏微分方程是：波动方程输运方程稳定的场方程第七章 数学物理定解问题教学目的：掌握根据物理规律和物理现象导出数学物理方程，写出定解条件的方法。教学内容：1.导出数学物理方程，包括 1)波动方程(均匀弦横向振动和均质杆纵向振动)；2)输运方程(扩散、热传导现象)；3)稳定场分布方程。(2课时)2定解
7、条件，1)初始条件；2)边界条件(第一、二、三类)。(1.5课时)3. 达朗贝尔公式(简介)。(0.5课时)重点：导出数学物理方程, 第一、二类边界条件。难点：边界条件，方程中各偏导数的物理涵义。定解问题： 1)数学物理方程物理规律用偏微分方程表示出来泛定方程 2)边界条件区域边界所处的物理状况 3)初始条件初始时刻的物理状态 边界条件初始条件定解条件71数学物理方程的导出一、 波动方程1 匀弦的微小横振动弦的静态特点：质量分布均匀，线密度为，自重可不计，完全柔软，平衡时沿x轴绷紧。u(x,t)弦的运动特点：受外界扰动后，弦上质点在与x轴垂直的方向产生微小位移；相邻小元段弦之间有弹性力作用，弹
8、性拉力的方向始终沿弦的切线方向，由于元段弦之间相邻的弹性力作用，任一小段弦有横向运动时必然带动相邻元段弦运动。平衡位置在x处的质元在t时刻的位移记为u(x,t)。用牛顿定律讨论区间x,x+dx上小元段弦的运动(先假设除元段弦之间的张力外，不受其它外力作用)x x+d x1 T1U(x,t)T22考虑微小振动，很小，其中，如果弦在振动过程中还受到外加横向力作用，设单位长度弦上所受的横向外力为F(x,t)，则其中 2 均匀杆的纵振动杆的质量分布均匀，密度为，并假设杆上各段的横截面积S相同，杆的长度方向于x方向一致，杆上任一质点可沿杆长方向移动(纵向位移)，设t时刻平衡位置在x处的质点的位移为u(x
9、, t)。由于杆上的质点相互连接在一起，当杆上任一小段有纵向位移时它会带动相邻质点移动，并使邻近小段杆压缩或伸长，同时，这邻段杆自己也被邻段杆压缩或伸长，这样 ，任一小段的纵向位移必然会传播到整根杆，这就是波动。把细杆分为许多极小的小段，拿区间(x, x + dx)上的小段B为代表加以研究。在小段杆的每个端面上受到的压力（或拉力）记为T，应力为P（单位横截面积上受到的力）。假设不受其它外力作用。在振动过程 中，小段B的两端受的力和位移分别为A B C A B C u u+dux x+dx xT(x) T(x+ dx)根据牛顿运动定律在力学中，应力P遵循胡克定律，在测量金属细丝的杨氏模量实验中，
10、把胡克定律简单地表述为，是金属丝的长度，是伸长量，在现在研究的问题中，因此，胡克定律应表示为即其中。这是一维细杆的波动方程，推广到三维情况如果除内力外，杆还受外力作用，称为受迫纵振动。设杆的单位长度上每单位横截面积上（也就是单位体积）所受的纵向外力为F(x, t)这里，相应的三维情况二、输运方程在这里，我们研究热传导问题和物质的扩散问题，两者归结为输运问题。当空间温度不均匀时，就会发生热传导；物质的浓度分布不均匀时，就会发生扩散运动。实质上两者都是扩散问题，只不过前者是能量的扩散，后者是物质（质量或分子数）扩散，两者遵循相似的物理规律。热传导（或物质的扩散）就是热量（或物质）的流动，流动的强度
11、分别用热流强度和扩散流强度表示，两者都记为，表示单位时间里垂直流过单位横截面积的热量（或物质的量）。用表示空间的温度（或物质的浓度）分布。1热传导方程在热传导问题中，热量的流动遵循傅里叶热传导定律：叫作热传导系数，是温度梯度，“”表示热量从高温向低温流动。考虑小体积，单位时间内净流入的热量为，是包围小体积的闭曲面。假设小体积内没有热源或热汇（吸收热量，转化为其他形式的能量或用于物质的状态变化，不改变温度），热量流入小体积内，必然导致温度的变化，单位时间内温度的变化为，当为常数，物质分布均匀（密度为常数）时，根据能量守恒定律，热平衡方程为 如果在物体内部存在热源，热源强度(单位时间内在单位体积中
12、产生的热量)为，单位时间内内净增加的热量为如果热量仅沿x方向传导，如热传导发生在横截面积为S、侧面绝热、沿x轴方向放置的均质细杆中，一维热传导方程为有热源时2扩散方程在扩散问题中，物质的流动所遵循的规律为：为扩散流强度，D叫作热扩散系数，是浓度梯度，“”表示物质从高浓度向低浓度方向流动。同样考虑小体积，单位时间内净流入内的物质的量为，假设小体积内没有源或汇（其他物质转化为这种物质称之为源，这种物质转化为其他物质称之为汇），质量流入小体积内，必然导致这种物质的浓度度发生变化，单位时间内浓度的变化为，根据质量守恒定律：（假设D为常数） 如果在物体内部存在源，源的强度(单位时间内在单位体积中产生物质
13、的量)为，单位时间内内净增加的量为如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为有源时三、稳定的场方程1稳定的温度(浓度)分布场稳定不随时间变化，即稳定的温度场 泊松方程无热源时 拉普拉斯方程2静电场是电荷密度，是真空中的介电常数(电容率)，=0时72定解条件数学物理方程是同一类现象的共同规律，反映的是该类现象的普遍性的一面，但是就物理现象而言，各个具体问题还有其特特殊性的一面，也就是说仅仅只有数学物理方程，还不能确定各个具体问题中的物理量。其实，在质点力学中我们对这个问题已经有了深刻的理解，质点运动遵循牛顿定律，但是仅有还不能确定位移和速度，要确定某时刻这两个具体的物理需要知道早一些时刻或初始时刻的状态，即它的“历史”。在高等数学中，要求解常微分方
