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1、习题 10 1 1 写出下列级数的前五项 1 2 1 2 n n n 2 1 1 3 21 2 4 2 n n n 3 1 1 1 10 n n n 4 1 1 n n n n 解 1 22222 12345 34567 2 11 31 3 51 3 5 71 3 5 7 9 22 42 4 62 4 6 82 4 6 8 10 3 11111 1020304050 4 12345 1 2 3 4 5 23456 2 写出下列级数的一般项 1 111 246 2 23 1 1 53 75 97 11 aaa 3 35791113 149162536 4 2 22 42 4 62 4 6 8 x
2、xx xx 0 x 解 1 1 2 n u n 2 1 21 23 n n a u nn 3 2 21 1 n n n u n 4 2 2 n n n x u n 3 判定下列级数的敛散性 1 1 1 n n n 2 1 1 21 21 n nn 3 111 1 22 3 1 n n 4 2 sinsinsin 666 n 5 1 221 n nn n 6 34 1111 3333 7 22 111111 323232 nn 8 135721 357921 n n 9 2121 1 nn n aa 0a 10 23 1111 1 111 1 111 1 23 n n 解 1 因为 1 1 1
3、21 1 1 n n Snnnnn 则 所以lim n n S 1 1 n n n发散 2 因为 1111 21 21 2 2121 n a nnnn 则 1 1111 2 21212 n n k Sn kk 所以 1 1 21 21 n nn 收敛 3 111111 1 1 2231 n S nnn 1 收敛 4 由于limsin0 6 n n 发散 5 因为22121 1 n annnnnnn 11 211nnn n 所以 1 111 211212 n n k S kkkknn 1 1 1 lim12 21 n n S 6 由于 1 1 3 limn n 则级数发散 7 1111 1 1
4、111111 3322 1 11 32322 11 32 limlimlimlimlimlim nn n nnnn nnnnnn S 2 收敛 8 由于 21 lim1 21 n n n 发散 9 212121 1 nnn n aaa a 所以级数收敛 10 由于 11 lim 1 1 n ne n 发散 4 证明下列级数收敛 并求其和 1111 1 44 77 10 32 31 nn 证明 由于 111111 1 34473231 n S nn 11 1 331n 则级数收敛 且其和 11 1 331 limlim n nn S n 1 3 5 若级数与都发散时 级数的收敛性如何 若其中一个
5、 收敛 一个发散 那么 级数收敛性又如何 1 n n u 1 n n v 1 nn n uv 1 nn n uv 解 当级数与都发散时 级数不一定收敛 如 1 n n u 1 n n v 1 nn n uv 1 1 n n 与 1 1 n n 都发散 而 1 11 00 n nn 收敛 若其中一个收敛 一个发散 则级数发散 证明如下 1 nn n uv 假设级数发散 则存在 1 n n u 0 0 对任何的自然数 总存在自然数 和 有 N 0 mN 0 P 0000000 1122 mmmmmPmP 0 000 1 mmP0 所以该级数发散 习题 10 2 1 用比较判别法或其极限形式判定下列
6、各级数的敛散性 1 1111 2 53 64 7 1 4 nn 2 1 111 357 3 222 1111 135 21 n 4 2 22 2 sin2 sin4 sin2 666n n 5 2 111 111 n aaa 0a 6 sinsinsinsin 2482n 解 1 由于 2 11 1 4 nnn nn 1 且 2 1 1 n n 收敛 故原级数收敛 2 由于 11 21nn 且 1 1 n n 发散 故原级数发散 3 由于 2 11 21 nn 2 且 2 1 1 n n 收敛 故原级数收敛 4 由于 2 sin2 1 66 n n n 且等比级数 1 1 6n n 收敛 故原
7、级数收敛 5 由于 11 1 n aa n 则当0a1 6 由于 sin 2 lim1 2 n n n 由于级数 12 n n 收敛 故原级数收敛 2 用比值判别法判别下列级数的敛散性 1 23 452 1 333n n 2 23 23 32 33 3 3 23 n n n n 3 23 1111 sin2 sin3 sinsin 2222n n 4 2 1 3 n n n 5 1 ln 2n n n n 6 1 n n n n 7 2 13 n n n 解 1 由于 1 1 3 31 3 limlimlim1 2 3 2 3 3 n n nnn n n n n n n 则原级数发散 3 由于
8、 1 1 1 11 1 sinsin 22 limlimlim1 11 sinsin 22 nn n nnn n nn n n 由上面知级数 1 1 sin 2n n 收敛 所以原级数收敛 4 2 1 2 1 1 33 limlimlim01 3 32 31 3 n nnn n n nn nnn n 则原级数收敛 5 1 1 ln 1 1 2ln 1 limlimlim01 ln 21ln 2 n n nnn n n n nnn n nn n 则原级数发散 7 2 1 2 1 2 1 111 3 limlimlim 1 33 3 n n nnn n n n n nn 解 1 由于 1 liml
9、im1 525 n n nn n n 则级数发散 3 由于 2 2 2 22 1 limlimlim1 22 n n n n nnn n e nn 2 则级数发散 4 由于 33 limlim1 1 n n nnnn e e 则级数收敛 5 由于limlim n n nn n bb aa 当1 b a 时 级数发 散 当1 b a 时 无法判断 6 由于limlim n n nn n xx aa 当0a 时 发散 当0a 时 有当1 x xa a 即 该级数发散 当1 x xa a 即 根值法不能判断 4 判别下列级数的敛散性 1 234 3333 234 4444 2 1 1 sin 2 n
10、 n n n 3 1111 1sin1 sinsin 22nn 4 222 222 ln 1ln 1ln 1 123 5 2 2 2 sin2sin2sin 333 n n 6 2 1 cos 3 2n n n n 7 11 1 2 nn n ee 解 1 1 1 3 1 3 4 limlim1 3 4 4 n n nn n n n n 收敛 2 1 1 1 1 1 2 sin 2 2 sin 22 limlimlimlim 2 1 1 sin 1 sin 22 nn nn n nnnn nn n nn nnn n nn 发散 3 由于 2 11 sin 0 1 lim n nn nn n 且
11、 2 1 n 收敛 所以级数收敛 4 由于 2 2 2 ln 1 lim1 2 n n n 而级数 2 2 n 收敛 则原级数收敛 5 由于 2 sin 3 1 2 3 lim n n n n n 且 1 2 3 n n n 收敛 则原级数收敛 6 由于 2 cos 3 22 n n n n n 且级数 2n n 1 1 1 1 2 limlim1 2 2 n n nn n n n n k 1 2 1 n n n nk C A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 收敛或发散与的 取值有关 k 解 析 满 足 交 错 级 数 的 条 件 1 1 22 1 1 nn knkn nn 2 2 li
12、m0 n n kn n 所以级数收敛 由于 2 lim1 1 n kn n n 则 2 kn n 发散 所以原 级数条件收敛 2 设0 为常数 则级数 1 11 cos n n n C A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 条件收敛与 有 关 解析 因为 2 22 1 cos2sin 2 lim2 22 n a nn aa nn 则级数 1 cos n 收敛 所以原 级数绝对收敛 3 已知级数 则级数 等于 C 21 1 1 n n n a5 1 12 n n a 1n n a A 3 B 7 C 8 D 9 解析 11 21 1111 1 2 1 nn nnn nnnn n 8 2 判别
13、下列级数是否收敛 若收敛的话 是绝对收敛还是条件收敛 1 1 1 1 1 n nn 2 1 1 1 1 8 n n n n 3 1 3 1 1 1 sin n n n 4 1 1 1 1 ln n n n n 5 2 1 1 2 1 n n n n 6 1111 1234aaaa a不为负整数 7 1111 ln2ln3ln4ln5 8 121221321421 1 12131411234 9 234 111 sinsinsin 234 10 2222 1111 sinsinsinsin 1234 解 1 满足交错级数的条件 1 11 1 nn nn 且 1 lim0 n n n 则 级数收敛
14、 又因为 1 nn 1 1 2 p 则发散 所以原级数条件收敛 2 考虑级数 1 1 8n n n 由于 1 1 1 1 1 8 limlim1 1 8 8 n n nn n n n n 级数 2 1 2 n n n 发散 原级数条件收敛 6 满足交错级数的条件 考虑级数 1 1 n n 由于 1 1 n n 发散 则原级 数条件收敛 7 满足交错级数的条件 考虑级数 1 1 ln 1 n n 由于 11 ln 1 nn 1 1 ln 1 n n 发散 则原级数条件收敛 8 1 21 1 1 n n n nn 满足交错级数的条件 考虑级数 1 21 1 n n nn 由于 2 1 1 1 li
15、m n n nn 则 1 21 1 n n nn 发散 则原级数条件收敛 9 考虑级数 1 1 1 sin 1 n n n 由于 11 11 sin 1 nn n 1 1 n 且收敛 则 1 1 1 sin 1 n n n 收敛 原级数绝对收敛 10 考虑级数 2 1 1 sin n n 由于 2 2 1 sin lim1 1 n n n 且 2 1 n 收敛 则 2 1 1 sin n n 收 敛 原级数绝对收敛 3 已知正项数列 单调递减 且级数发散 试问 n a 1 1 n n n a 1 1 1 n n n a 的敛 散性 解 由于正项数列 单调递减 且级数发散 由交错级数性质可 知
16、n a 1 1 n n n a lim0 n n 又因为 11 lim 1 11 n n n n n nn aa p10 且 1 0 limlim n p nn n 则原级数收敛 考虑级数 1 1 p n n 则可知当时1 p 1 1 p n n 收敛 原级数绝对收敛 当时 10 p 1 1 p n n 发散 则原级数条件收敛 习题 10 4 1 求下列幂级数的收敛域 1 2 23 23xxx 234 222 1234 xxxx 3 23 22 42 4 6 xxx 4 23 23 222 222 112131 xxx 5 234 234 2 1 22 23 24 xxxx 6 234 234 1 32 33 34 3 xxxx 7 21 1 1 1 21 n n n x n 8 1 1 1 1 n n n x n 9 22 1 21 2 n n n n x 10 1 5 n n x n 解 1 由于 1 1 1 limlim n nn n an R an 则幂级数的收敛区间是 1 但当时发散 所以收敛域 1 1x 1 1 2 由于 2 1 2 1 1 1 1 limlim n nn
