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1、例谈轨迹方程的几种常见求法石阡县第三高级中学 张军求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数的方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因此也是历届高考考查的重要内容之一。一般地，求轨迹方程有直接和间接两种方式，本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法：1、 直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程。这种求轨迹方程的方法称为直接法，这是探求轨迹刚才最
2、基本的方法。 例1.在平面直角坐标系中，点到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为.当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和.求点的轨迹.解设点的坐标为，则由题设知，即 当时，由得，化简得.当时，由得 ，化简得.故点的轨迹是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分(包括它与直线x2的交点)所组成的曲线(如图所示)。评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识，同时也考查了绝对值的运算。直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一，它的步骤是：建系；设点；列式；化简；证明。2、 定义法当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）
3、，我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法。例2.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和，根据两圆外切的条件，得，.，即.这表明动点与两定点、的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支(点与的距离大，与的距离小)，这里，则，设点的坐标为，其轨迹方程为.评注：如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值；到两个定点距离之差（或差的绝对值）为定值；到定点和到定直线的距离相等等，可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。3、 代入法代入法又称为转移法或相关点法，若动点依赖于已知曲线上的另一动点
4、的运动而运动，且点的坐标、可以用点的坐标、来表示，则可利用点在已知曲线上，其坐标满足曲线方程，将、代入已知曲线方程而求得动点的轨迹方程。例3.设点为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为 解 设，则，在上，为所求轨迹方程。评注：本题考查了随某点运动而运动的动点的轨迹方程的求法，其关键是寻找所求点与已知曲线上的动点之间的关系，在这里是借助了线段的中点坐标公式来建立两动点之间的关系的。用代入法求轨迹方程常用的策略是中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形重心、对称性等。4、 参数法 如果轨迹动点的坐标之间的关系不易找到，可以考虑将用一个或几个参数来表示，消去参数得到轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。例4.设抛物线的准线为，焦点为，顶点为，为抛物线上任意一点，于，求与的交点的轨迹方程。分析：涉及抛物线的动点，可以设点的坐标为参数，对抛物线，根据其方程可以设出含有一个参数的点的坐标，如抛物线上的点可以设为，也可以设为，后者较为简单。解 设抛物线上点，直线的方程为，又，直线的方程，它们的交点由方程组确定。消去，得.交点的轨迹方程为.4
