《2020届北京石景山区高三数学一模试卷含答案--精品》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京石景山区高三数学一模试卷含答案--精品（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学试题第 1页 共 14页 2020 年石景山区高三统一测试 数 学 本试卷共6 页 满分为150 分 考试时间为120 分钟 请务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后上交答题卡 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共10 小题 每小题4 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 1 设集合 4321 P 3 RxxxQ 则QP等于 A 1B 1 2 3 C 34 D 3 2 1 0 1 2 3 2 在复平面内 复数5 6i 3 2i对应的点分别为A B 若 C为线段 AB的中点 则点C 对应的复数是 A 8 4iB 2 8iC 4 2iD
2、1 4i 3 下列函数中 既是奇函数又在区间0 上单调递减的是 A 2 2yxB 2 x yC lnyxD 1 y x 4 圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy的距离为 1 则a A 4 3 B 3 4 C 3D 2 5 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务 每个场馆至少1人 不同的分配 方案有 种 A 36B 64C 72D 81 6 如图 网格纸的小正方形的边长是1 粗线表示一正方体被某平面截得的几 何体的三视图 则该几何体的体积为 高三数学试题第 2页 共 14页 A 2B 4C 5D 8 7 函数cos 6 fxx 0 的最小正周期为 则fx满足 A 在0 3 上
3、单调递增B 图象关于直线 6 x对称 C 3 32 fD 当 5 12 x时有最小值1 8 设 na是等差数列 其前n项和为nS 则 132 2SSS 是 na为递增数列 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 9 设 f x是定义在 R上的函数 若存在两个不等实数12 x xR 使得 1212 22 xxf xf x f 则称函数 f x 具有性质P 那么下列函数 1 0 00 x f x x x 2 f xx 2 1 f xx 具有性质P的函数的个数为 A 0B 1C 2 D 3 10 点MN 分别是棱长为2的正方体1111ABCDA BC
4、D中棱1 BC CC的中点 动点 P在正方形 11 BCC B 包括边界 内运动 若 1 PA 面AMN 则 1 PA的长度范围是 A 2 5B 3 2 5 2 C 3 2 3 2 D 2 3 D1C1 B1 A1 N M C D AB P 高三数学试题第 3页 共 14页 第二部分 非选择题共110 分 二 填空题共5 小题 每小题5 分 共 25 分 11 已知向量 13 22 BA uu v 3 1 22 BC uu u v 则ABC 12 已知各项为正数的等比数列 n a中 1 1a 其前n项和为 n SnN 且 123 112 aaa 则 4 S 13 能够说明 设 a b是任意非零
5、实数 若 ab 则 11 ab 是假命题的一组 整数 a b的值依次为 14 已知F是抛物线C 2 4yx的焦点 M是C上一点 FM的延长线交 y轴于 点N 若M为FN的中点 则FN 15 石景山区为了支援边远山区的教育事业 组织了一支由13 名一线中小学教师 组成的支教团队 记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况 此队员 回答 有中学高级教师 中学教师不多于小学教师 小学高级教师少于中 学中级教师 小学中级教师少于小学高级教师 支教队伍的职称只有小学中 级 小学高级 中学中级 中学高级 无论是否把我计算在内 以上条件都成 立 由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 高三数学试题
6、第 4页 共 14页 三 解答题共6 小题 共85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 本小题 14 分 如图 在正四棱锥PABCD中 2 2ABPB ACBDO 求证 BO面PAC 求二面角APCB的余弦值 17 本小题 14 分 2020 年 北京将实行新的高考方案 新方案规定 语文 数学和英语是考生的必考科 目 考生还需从物理 化学 生物 历史 地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考 科目 若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目 则称该学生的选考方案确 定 否则 称该学生选考方案待确定 例如 学生甲选择 物理 化学和生物 三个选考 科目 则学生甲的选考方案确定
7、物理 化学和生物 为其选考方案 某校为了解高一年级840 名学生选考科目的意向 随机选取60 名学生进行了一次调 查 统计选考科目人数如下表 性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治 男生 选考方案确定的有16 人16168422 选考方案待确定的有12 人860200 女生 选考方案确定的有20 人610201626 选考方案待确定的有12 人2810002 估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人 从选考方案确定的16 名男生中随机选出2 名 求恰好有一人选 物理 化学 生物 的概率 从选考方案确定的16 名男生中随机选出2 名 设随机变量 两名男生选考方案相同 两
8、名男生选考方案不同 1 0 求的分布列和期望 O P C D A B 高三数学试题第 5页 共 14页 18 本小题 14 分 已知锐角ABC 同时满足下列四个条件中的三个 3 A p 13a 15c 1 sin 3 C 请指出这三个条件 并说明理由 求ABC 的面积 19 本小题 15 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的右焦点为 1 0 F 离心率为 2 2 直线l过点 F且不平行于坐标轴 l与C有两个交点 A B 线段AB的中点为M 求椭圆C的方程 证明 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 延长线段OM与椭圆C交于点P 若四边形OAPB为平行四边形 求此时直线l的
9、斜率 20 本小题14 分 已知函数 2 0 ln 0 f xxxg xax a 若 f xg x恒成立 求实数a的取值范围 当1a时 过 f x上一点1 1 作 g x的切线 判断 可以作出多少条切线 并 说明理由 高三数学试题第 6页 共 14页 21 本小题 14 分 有限个元素组成的集合 21n aaaA Nn 记集合A中的元素个数为 card A 即 card An 定义 AAxy xA yA 集合AA中的元素个数 记为 card A A 当 1 2 n n card A A 时 称集合A具有性质 P 7 4 1 A 8 4 2 B 判断集合BA 是否具有性质 P 并说明理由 设集合
10、 2020 321 aaaA 2020 321 aaa 且 3 2 1 iNai 若集 合A具有性质 P 求321 aaa 的最大值 设集合 21n aaaA 其中数列 n a 为等比数列 2 1 0niai 且公 比为有理数 判断集合集合A是否具有性质 P并说明理由 高三数学试题第 7页 共 14页 2020 年石景山区高三统一测试 数学试卷答案及评分参考 一 选择题 本大题共10 个小题 每小题4 分 共 40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C D A A B D C C B 二 填空题 本大题共5 个小题 每小题5 分 共 25 分 11 6 12 15 13
11、 21 答案不唯一 14 3 15 小学中级 三 解答题 本大题共 6个小题 共85分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 16 本小题14 分 证明 联结PO 在正四棱锥PABCD中 PO底面ABCD 因为BO平面ABCD 所以POBO 3 分 在正方形ABCD中 BO AC 又因为POACOI 所以BO面PAC 6 分 解 由 知 PO AO BO两两垂直 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 7 分 在正方形ABCD中 因为2 2AB 所以2AO 又因为2 2PB 所以2PO z y x O P C D A B 高三数学试题第 8页 共 14页 所以点P的坐标为 0 0 2
12、P 点C的坐标为 2 0 0 C 点B的坐标为 0 2 0 B 8 分 则 2 0 2 PC uu u r 2 2 0 CB uu u r 9 分 由 知 BO平面PAC 所以平面PAC的一个法向量为 1 0 2 0 nOB u ruuu r 10 分 设平面PBC的一个法向量 2 nx y z uu r 则 2 2 0 0 n PC n CB u u r uu u r g u u r uu u r g 即 220 220 xz xy 令1y 则1x 1z 故平面PBC的一个法向量 2 1 1 1 n uu r 13 分 12 12 12 3 cos 3 nn nn nn u ruu r u
13、ru u r g u ruu r 所以二面角APCB的余弦值为 3 3 14 分 17 本小题 14 分 解 由数据知 60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8 20 28 人 1 分 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 392 60 28 840人 4 分 选考方案确定且为 物理 化学 生物 的男生共有8 人 5 分 设 恰好有一人选物理 化学 生物 为事件A 6 分 15 8 2 16 1 8 1 8 C CC Ap 8 分 高三数学试题第 9页 共 14页 由数据可知 选考方案确定的男生中有8 人选择物理 化学和生物 有4 人选择物 理 化学和历史 有2 人选
14、择物理 化学和地理 有2 人选择物理 化学和政 治 9 分 的可能取值为10 10 7 0 2 16 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 C CCCCCC P 10 3 1 2 16 2 2 2 2 2 4 2 8 C CCCC P 12 分 所以的分布列为 0 1 P 10 7 10 3 10 3 10 3 1 10 7 0E 14 分 18 本小题14 分 解 ABC 同时满足 3 分 理由如下 若ABC 同时满足 则在锐角ABC 中 11 sin 32 C 所以0 6 C 又因为 3 A 所以 A 32 C 所以 2 B 这与ABC 是锐角三角形矛盾 高三数学试题第10页 共
15、 14页 所以ABC 不能同时满足 6 分 所以ABC 同时满足 7 分 因为ca所以CA若满足 则 6 AC 则 2 B 这与ABC 是锐角三角形矛盾 故ABC 不满足 9 分 故 ABC 满足 因为 222 2cosabcbc A 1 0 分 所以 2221 1315215 2 bb 解得8b或7b 12分 当7b时 222 71315 cos0 27 13 C 所以C为钝角 与题意不符合 所以8b 13 分 所以 ABC的面积 1 sin30 3 2 SbcA 14 分 19 本小题15 分 解 由已知1c 2 2 c e a 2 分 又 222 abc 解得2 1ab 4 分 所以椭圆
16、方程为 2 2 1 2 x y 5 分 设直线l的方程为 1 0 yk xk 联立 2 2 1 1 2 0 ykk x x y 消去y得 2222 21 4220kxk xk 不妨设 1122 A x yB xy 7 分 高三数学试题第11页 共 14页 则 2 122 4 21 k xx k 因为 M 为线段AB的中点 所以 2 12 2 2 221 M xxk x k 2 1 21 MM k yk x k 8 分 所以 1 2 M OM M y k xk 9 分 所以 11 22 OMl kkk k 为定值 10 分 若四边形OAPB为平行四边形 则OA OBOP u uu ru uu ruuu r 12 分 所以 2 122 4 21 P k xxx k 1212122 2 1 1 2 21 P k yyyk xk xk xx k 13 分 因为点 P在椭圆上 所以 2 22 22 42 2 2 2121 kk kk 14 分 解得 2 1 2 k即 2 2 k 所以当四边形OAPB为平行四边形时 直线l的斜率为 2 2 k 15 分 20 本小题 14 分 解 令 2 ln 0
