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1、高三数学一轮复习解析几何(解析版) 数 学 H单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6，2014福建卷 已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 6D 解析 由直线l与直线xy10垂直，可设直线l的方程为xym0. 又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D. 20、2014全国新课标卷 已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点 (1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时
2、，求l的方程及POM的面积 20解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y) 由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆 由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM. 1因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为， 318故l的方程为yx. 33410又|OM|OP|2 2，O到直线l的距离为， 54101
3、6故|PM|，所以POM的面积为. 55x2y221、2014重庆卷 如图1-5，设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，ab|F1F2|2F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，22，DF1F2的面积为. |DF1|2(1)求该椭圆的标准方程 (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由 图1-5 221解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中ca2b2. |F1F2|22得|DF1|c. 2 22122从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1. 2222
4、93 2从而|DF1|.由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|， 222所以2a|DF1|DF2|2 2，故a2，b2a2c21. x22因此，所求椭圆的标准方程为y1. 2x22(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两2个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2. 由|F1F2|2 |DF1|由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由F1P12F2P2得(x11)2y10
5、. x241由椭圆方程得1(x11)2，即3x214x10，解得x1或x10. 23当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在 4当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，3y1y0y1由CP1F1P1，得1. x1x1115而y1|x11|，故y0. 334?2?15?24 2?圆C的半径|CP1|?3?33?. 3综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 5?2322?x?y3?. 9 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6，2014福建卷 已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是( ) Axy20 Bx
6、y20 Cxy30 Dxy30 6D 解析 由直线l与直线xy10垂直，可设直线l的方程为xym0. 又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D. 18、2014江苏卷 如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段 OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan4BCO. 3(1)求新桥BC的长 (2)当OM多长时，圆形保护区的面积
7、最大？ 图1-6 18解： 方法一： (1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170，0)， 4直线 BC 的斜率kBCtanBCO. 33又因为 ABBC, 所以直线AB的斜率kAB. 4设点 B 的坐标为(a，b)， b0b6034则kBC， kAB， 3a170a04解得a80, b120， 所以BC（17080）2（0120）2150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OMd m (0d60) 4由条件知， 直线BC的方程为y(x170)， 3即4x3y6800
8、. 由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r， |3d 680|6803d即r. 54232?rd80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以? ?r（60d）80，?3dd80，?6805即? 680 3d?5（60d）80，解得10d35. 680 3d故当d10时， r 最大， 即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大 方法二： (1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F. 4因为 tanFCO， 343所以sinFCO， cosFCO. 55因为OA60，OC170， 680OC850500所以OFOC tanFCO，
9、 CF， 从而AFOFOA. 33cosFCO34因为OAOC, 所以cosAFB sinFCO. 5400又因为 ABBC，所以BFAFcosAFB， 从而BCCFBF150. 3因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m (0d60) 因为OAOC, 所以sinCFOcosFCO. 6803dMDMDr3故由(1)知sinCFO， 所以r. MFOFOM68055d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， ?rd80，所以? ?r（60d）80，?即? 6803d?5（60d
10、）80，解得10d35. 680 3d故当d10时， r最大，即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大 22、2014全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与 y轴的交5点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|. 4(1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程 822解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0， p8pp8所以|PQ|，|QF|x0. p22pp858由题设得，解得p2(舍去)或p2， 2p4p所以C的方程为y24x. (2)依
11、题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0) 代入y24x，得y24my40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24. 故线段AB的中点为D(2m21，2m)， |AB|m21|y1y2|4(m21) 1又直线l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23. m4将上式代入y24x，并整理得y2 y4(2m23)0. m4设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23) m22?222m3，故线段MN的中点为E?m?， ?m|MN|4（m21）2m21112|y3y4|. mm26803dd80，51由于线段MN垂直平分线段AB，故A，
12、M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，2从而 11|AB|2|DE|2|MN|2，即 44222m?22? 4(m1)?m?m?2222百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆! 4（m21）2（2m21）， m4化简得m210，解得m1或m1. 所求直线l的方程为xy10或xy10. x2y221、2014重庆卷 如图1-5，设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，ab|F1F2|2F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，22，DF1F2的面积为. |DF1|2(1)求该椭圆的标准方程 (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两
13、个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由 图1-5 221解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中ca2b2. |F1F2|F1F2|2由2 2得|DF1|c. |DF1|2 22 122从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1. 222293 2从而|DF1|.由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|， 222所以2a|DF1|DF2|2 2，故a2，b2a2c21. x22因此，所求椭圆的标准方程为y1. 2x22(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两2个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.
