高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.2概率（整理）

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1、学 海 无 涯 20142014 年高考一轮复习热点难点精讲精析 年高考一轮复习热点难点精讲精析 11 211 2 概率概率 一 随机事件的概率一 随机事件的概率 相关链接 相关链接 1 事件的判断震怒地三种事件即不可能事件 尽然事件和随机事件的概念充分理解 特别是随机事 件要看它是否可能发生 并且是在一定条件下的 它不同于判断命题的真假 2 对随机事件的理解应包含下面两个方面 1 随机事件是指一定条件下出现的某种结果 随着条件的改变其结果也会不同 因此必须强调同 一事件必须在相同的条件下研究 2 随机事件可以重复地进行大量试验 每次试验结果不一定相同 且无法预测下一次的结果 但 随着试验的重

2、复进行 其结果呈现规律性 例题解析 例题解析 例 例 一个口袋装有 5 个白球和 3 个黑球 从中任意取出一个球 1 取出的球是红球 是什么事件 2 取出的球是黑球 是什么事件 3 取出的球是白球或黑球 是什么事件 思路解析 思路解析 结合必然事件 不可能事件 随机事件的概念求解 解答 解答 1 由于口袋内只装有黑 白两种颜色的球 故 取出的球是红球 是不可能事件 2 由已知 从口袋内取出一个球 可能是白球也可能是黑球 故 取出的球是黑球 是随机事件 3 由于口袋内装的黑 白两种颜色的球 故取出一个球不是黑球 就是白球鞋 因此 取出的球 是白球或黑球 是必然事件 二 随机事件的频率与概率 二

3、随机事件的频率与概率 相关链接 相关链接 1 随机事件的频率 指此事件发生的次数与试验总次数的比值 它具有一定的稳定性 总在某个常 数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这种摆动幅度越来越小 我们给这个常数取一个名字 叫做这 个随机事件的概率 2 概率可看做频率在理论上的期望值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 它是频率 的科学抽象 当试验次数越来越多时频率向概率靠近 只要次数足够多 所是频率就近似地当做随机事件 的概率 例题解析 例题解析 学 海 无 涯 例 例 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下 1 计算表中进球的频率 2 这位运动员投篮一次 进球的概率是多少 思路解

4、析 思路解析 解答本题可根据频率的计算公式 A n n fA n 其中n为相同条件下重复的试验次数 A n为 事件 A 出现的次数 且随着试验次数的增多 频率接近概率 解答 解答 1 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为 2 由 1 知 每场比赛进球的频率虽然不同 但频率总是在 3 4 的附近摆动 可知该运动员投篮一 次 进球的概率约为 3 4 三 三 互斥事件 对立事件的概率互斥事件 对立事件的概率 例 例 一盒中装有大小和质地均相同的 12 只小球 其中 5 个红球 4 个黑球 2 个白球 1 个绿球 从中随机取出 1 球 求 1 取出的小球是红球或黑球的概率 2 取出的小球

5、是红球或黑球或白球的概率 思路解析 思路解析 设事件 分析事件的性质 根据互斥事件概率求法求解 解答 解答 记事件 A 任取 1 球为红球 B 任取 1 球为黑球 C 任取 1 球为白球 D 任取 1 球为绿 球 则 1 取出 1 球为红球或黑球的概率为 1 543 12124 PP AP B 2 取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 2 2 54211 12121212 111 1 1 1212 PP AP BP C PP D 或 学 海 无 涯 注 注 1 解决此类问题 首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件 再选择概率公式进行计算 2 求复杂的互斥事件的概率一

6、般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的求和公式计算 二是间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式 1 P AP A 即运用逆向思维 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法 就显得较简便 3 互斥事件 对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件 对立事件的一种最有效 最简便的 基本方法 也可从集合角度来判断 如果 A B 是两个互斥事件 反映在集合上是表示 A B 两个事件所含 结果组成的集合的交集为空集 即 A B 如果 A B 是对立事件 则在 A B 的前提下 A 与 B 的并 集为全集 二 古典概型二 古典概型 一

7、 写出基本事件 一 写出基本事件 相关链接 相关链接 1 随机试验满足下列条件 1 试验可以在相同的条件下重复做下去 2 试验的所有结果是明确 可知的 并且不止一个 3 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在试验之产却不能肯定会出现 哪一个结果 所以 随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件 这类随机事件叫做基本事件 2 计算古典概型所含基本事件总数的方法 1 树形图 2 列表法 3 另外 还可以用坐标系中的点来表示基本事件 进而可计算基本事件总数 4 用排列组合求基本事件总数 例题解析 例题解析 例 例 做抛掷两颗骰子的试验 用 x y 表示结果 其中 x 表示第一颗骰子出现的点数

8、y 表示 第二颗骰子出现的点数 写出 1 试验的基本事件 2 事件 出现点数之和大于 8 3 事 件 出现点数相等 4 事件 出现点数之和大于 10 思路解析 思路解析 抛掷两颗骰子的试验 每次只有一种结果 且每种结果出现的可能性是相同的 所以该试 验是古典概型 当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出 解答 解答 1 这个试验的基本事件为 学 海 无 涯 2 出现点数之和大于 8 包含以下 10 个基本事件 3 出现点数相等 包含以下 6 个基本事件 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 出现点数之和大于 10 包含以下 3 个基本事件 5 6 6 5 6 6 二 求简单古

9、典概型的概率 二 求简单古典概型的概率 相关链接 相关链接 求古典概型概率的步骤求古典概型概率的步骤 1 仔细阅读题目 弄清题目的背景材料 加深理解题意 2 判断本试验的结晶是否为等可能事件 设出所求事件 A 3 分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m 4 利用公式 m P A n 求出事件 A 的概率 注 注 并不是所有的试验都是古典概型 例如 在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否 发芽 这 个试验的基本事件空间为 发芽 不发芽 而 发芽 与 不发芽 这两种结果出现的机会一般是不均 等的 例题解析 例题解析 例 例 如图 在一个木制的棱长为 3 的正方体表面涂

10、上颜色 将它的棱 3 等分 然后从等分点把正方 体锯开 得到 27 个棱长为 1 的小正方体 将这些小正方体充分混合后 装入一个口袋中 1 从这个口袋中任意取出 1 个正方体 这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少 学 海 无 涯 2 从这个口袋中同时任意取出 2 个小正方体 其中 1 个小正方体恰好有 1 个面涂有颜色 另 1 个 小正方体至少有 2 个面涂有颜色的概率是多少 思路解析 思路解析 该模型为古典概型 基本事件个数是有限的 并且每个基本事件的发生的等可能的 解答 解答 在 27 个小正方体中 恰好 3 个面都涂有颜色的共 8 个 恰好 2 个面涂有颜色的共 12 个 恰好 1

11、 个面涂有颜色的共 6 个 表面没涂颜色的确个 1 从 27 个小正方体中任意取出 1 个 共有 1 27 27C 种等可能的结果 因为在 27 个小正方体中 表面没涂颜色的只有 1 个 所以从这个口袋中任意取出 1 个小正方体 而这个小正方体的表面恰好没涂颜 色的概率是 1 27 P 2 从 27 个小正方体中 同时任取 2 个 共 2 27 C种等可能的结果 在这些结果中 有 1 个小正方体 恰好有 1 个面涂有颜色 另 1 个小正方体至少有 2 个面涂有颜色包含的结果有 111 6128 C CC 种 所以从这 个口袋中同时任意取出 2 个小正方体 其中 1 个小正体恰好有 1 个面涂有

12、颜色 另 1 个小正方体至少有 2 个面涂有颜色的概率是 111 6128 2 27 40 117 C CC P C 三 复杂的古典概型的概率求法 三 复杂的古典概型的概率求法 例 例 袋中有 6 个球 其中 4 个白球 2个红球 从袋中任意取出 2 个球 求下列事件的概率 1 A 取出的 2 个球都是白球 2 B 取出的 2 个球中 1 个是白球 另 1 个是红球 思路解析 思路解析 用列举法求出基本事件总数 n 求出事件 A B 包含的基本事件数 m 根据古典概型公式 坟概率 解答 解答 设 4 个白球的编号为 1 2 3 4 2 个红球的编号为 5 6 从袋中的 6 个小球中任取 2 个

13、的方 法为 共 15 种 1 从袋中的 6 个球中任取 2 个 所取的 2 个球全是白球的方法总数 即是从 4 个白球中任取 2 个 的方法总数 共有 6 种 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 取出的 2 个球全是白球的概率为 62 155 P A 学 海 无 涯 2 从袋中的 6 个球中任取 2 个 其中 1 个为红球 而另 1 个为白球 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共 8 种 取出的 2 个球中 1 个是白球 另 1 个是 红球的概率为 8 15 P B 注 注 1 在古典概型条件下 当基本事件总数为 n 时 每一个基本事件

14、发生的概率均为 1 n 要求事件 A 的概率 关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m 再由古典概型概率公式 m P A n 求 出事件 A 的概率 2 含有 至多 至少 等类型的概率问题 从正面突破比较困难或者比较繁琐时 可考虑其反 面 即对立事件 然后应用对立事件的性质 1 P AP A 进一步求解 三 几何概型三 几何概型 一 与长度有关的几何概型 一 与长度有关的几何概型 相关链接 相关链接 1 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为 P A A构成事件 的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度 2 将每个基本事件理解为从某个特定的几

15、何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都 一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这样的概率模型就可 以用几何概型来求解 例题解析 例题解析 例 例 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过圆内接的等 边三角形边长的概率是 思路解析 思路解析 解决概率问题先判断属于什么概率模型 本题属几何概型 把问题转化为化成 直径上到 圆心 O 的距离小于 1 2 的点构成的线段长与直径长之比 解答 解答 记事件 A 为 弦长超过圆内接等边三角形的边长 如图 学 海 无 涯 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE

16、上任取一点 F 作垂直于直径的弦 当弦为 CD 时 就是等 边三角形的边长 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF 此时 F 为 OE 中点 由几何概型 公式得 1 2 1 2 22 P A 答案 1 2 二 与面积 体积 有关的几何概型 二 与面积 体积 有关的几何概型 相关链接 相关链接 1 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示 则其概率的计算公式为 A P A 构成事件 的区域面积 试验的全部结果所构成的区域面积 2 面积比 是求几何概率的一种重要类型 也是在高考中常考的题型 3 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示 则其概率的计算公式为 A P A 构成事件 的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积 注 注 解决此类问题一定要注意几何概型的条件 例题解析 例题解析 例 例 如图 射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环 从外向内依次为白色 黑色 蓝色 红色 靶心 为金色 金色靶心叫做 黄心 奥运会的比赛靶面直径是 122cm 靶心直径是 12 2cm 运动员在 70 米外 射箭 假设运动员射的箭都能中靶 且射中靶面内任一点是等可能的 那