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1、数学运算题库 数学运算题型详讲（上）行程问题 相遇问题 追及问题 速度叠加 工程问题 比例问题 百分比问题 利润问题 浓度问题1.行程问题此题型各种技巧较多，但实际上规律不难，只要把握住路程=速度时间1.解答行程问题的首要步骤是分析题目描述的情境中运动状态的改变，而后按照不同运动状态各个击破。行程问题中，路程往往是不变量，速度变化导致时间变化。2.当行程问题中引入“平均速度”的概念时，一定牢记，平均速度=分段路程和分段时间和，切忌认为平均速度就是速度的简单平均。在去程速度为V1回程速度为V2的往返运动中，往返的平均速度=2V1V2/(V1+V2)或者2S/(S/ V1 +S/ V2)3.题目中
2、出现数电线杆、数大树、数台阶问题时，当数了N个定点时，N个定点间只有N-1段距离。4.在解答行程问题中较难的题目时。画图的方法可以使题目更加直观，因此用画图的方法寻找数量间的关系是解答行程问题的重要辅助手段之一。这个基本公式，对不同的题型灵活应用即可。【例题1】某人旅游爬一座小山，上山时每分钟走30米，下山时每分钟走60米，问在上下山的过程中平均速度是每分钟多少米？A40 B43 C45 D.48【例题解析】我们设山上山下的距离为，则有上山时间为，下山时间为，总距离为。列方程解得=40米/秒。或者，将山上山下的路程看作“整体1”，则有=40米/秒。故应选择A选项。【重点提示】在涉及往返的问题中
3、，往返的平均速度=2V1V2/(V1+V2)【例题】（2009北京第11题）游乐场的溜冰滑道如下图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400米，下坡时每分钟行驶600米，已知溜冰车从A点到B点需要3.7分钟，从B点到A点只需要2.5分钟。AC比BC长多少米? CA BA1200B1440C1600D1800【例题解析】设AC距离为x米,BC距离为y米可列方程组+=3.7+=2.5将方程组中两方程通分，再相减，可直接解得x-y=1440米答案为B【例题】（2010浙江省90题）某环形公路长15千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3小时后，甲追上乙
4、，问乙的速度是多少？ A12.5千米/小时 B13.5千米/小时C15.5千米/小时 D175千米/小时【例题解析】设甲的速度为xKm/h,乙的速度为yKm/h,因为反向而行，0.5小时后相遇，可列方程，（x+y）0.5=15同时同地同向而行，若使甲能追上乙，需使甲行驶的路程比乙行驶的路程多一圈，经过3小时后，甲追上乙，可列方程（x-y）3=15解得y=12.5Km/h答案为A【例题】两人从甲地到乙地同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一人用匀速4小时走完全程，经过（ ）分钟，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。A144 B360 C120 D.72【例题解析】一人用3小时走完全
5、程，则每小时走全程的，另一人用4小时走完全程，则每小时走全程的，设小时后，其中一人是另一人所剩路程的两倍， 1-x=2(1-x)解得小时也即共有144分钟答案为A【例题】小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。A30 B35 C38 D.40【例题解析】小燕往返步行比单程步行单程骑车快70-50=20分钟，说明单程骑车比单程步行快20分钟，因为另外单程都是骑车，故往返都骑车需要50-20=30分钟。故应选择A选项。【例题】（2009内蒙古第13题）李先生去10层楼的8层去办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层爬到第4层
6、用了48秒，请问，以同样的速度爬到第8层需要多少秒?A.112 B.96C.64 D.48【例题解析】他从第1层爬到第4层用了48秒，说明共走了3层，也即是每层要用16秒，那么到第八层实际上只走了7层。所以，时间为167=112答案为A【例题】小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时80秒。爸爸问小明这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第十根电线杆用时25秒。如果路旁每两根电线杆的间隔为50米，小明就算出了大桥的长度。那么，大桥的长为（ ）米。A4000 B1200 C1440 D.1600【例题解析】S=VT=80t 这道题应该注意是从第一根电线杆
7、到第十根电线杆的间隔应为9倍的50米，即450米，这样，桥长就为80=1440米答案为C【例题】（11国考第66题）小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？A.45B.48 C.56D.60【例题解析】设小王步行的速度为x，跑步的速度为2x，骑车的速度为4x。设A、B城间相距距离“1”， 由他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时（120分钟），可列方程=120，解得=120，则有=48分钟，故应选择B选项。【重点提示】本题利用特殊值法，更容易做。【例题】甲、乙、丙三人同时从A地出发去
8、距A地100千米的B地，甲与丙以25千米时的速度乘车行进，而乙却以5千米时的速度步行，过了一段时间后，丙下车改以5千米时的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上而前往B地，这样甲、乙、丙三人同时到达B地，此旅程共用时数为（ ）小时。A7 B8 C9 D.10【例题解析】乙、丙二人步行的速度都是5千米/小时，坐车时的速度都是25千米/小时，他们走完全程的时间也完全一样。这样，乙走路的距离。与丙走路的距离应该一样。如图，D点是丙下车的地点，C点是乙上车的地点， AC+DB，AC+CD+DB=100,丙步行走完DB的时间，应该等于甲开始走2CD +BD的时间 由于2CD+DB=2AB-2AC-DB=
9、2AB-3DB可列方程 DB=25 共用的时间为小时答案为B2.相遇问题相遇问题是人才测评考试中经常考查的一种问题，解答人才测评中的相遇问题最关键的方法是一定要认真想象题目所述的时空概念，将运动体在题目所述过程中的运动状态（即速度、路程、时间关系）分析清楚，从其相互间的可列方程的等量关系着手解决。解答相遇问题的注意事项：1.相遇问题的基本公式是：相遇路程=（A速度+B速度）相遇时间2.在通常情况下，相遇问题中的相遇时间是相等的。3.如果题目中某方先出发，注意把他先行的路程去掉，剩下的部分依然是相遇问题。4.环形路上的相遇问题，两者若同时同地反向出发，则相遇距离一定为环形路的全长。若两者第一次相
10、遇时距中点M米，则两者在第二次相遇时相距2M米。5.折返跑问题中，两者从两地出发，第一次相遇路程为M，以后再相遇，相遇路程均为2M。6.解答相遇问题中的“列车错车”问题时，计算相遇路程时还要注意算上两列列车本身的长度。7.在解决相遇个数问题时，（例如乘坐某公交车从一终点站到另一终点站用N小时，全程遇到相向而来的同路线公交车M量，那么这路公交车就每隔小时发车一辆）尤其要注意对题意时空情境的想象，解答问题。（1）一般相遇问题【例题1】（2006年北京第20题）红星小学组织学生排队去郊游,每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟150米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用去10分钟.求队伍的长度。A
11、.630米 B.750米 C.900米 D.1500米【例题解析】本题可将王老师与队伍的关系视作先为对队首的追及，后为对队尾的相遇，设队伍长度为xx（150-60）+x（150+60）=10 解得x=630米答案为A【例题2】甲、乙两辆清洁车，执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米。问：东、西两城相距多少千米？A.45 B.50 C.55 D.60【例题解析】甲车与乙车的所用时间比为10:15，则速度比为3:2，这样相遇时所用时间是相同的则所走过的距离比是3:2，这样甲比乙多走的应该是全程的，12
12、=60千米。故应选择D选项。【例题3】A、B两城相距60千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是（ ）千米。A8 B10 C12 D15 【例题解析】甲乙两人在距B处12千米处相遇，则乙比甲多走24千米，甲比乙每小时慢4千米，则说明相遇时已走了244=6小时，甲的速度为（60-12）6=8千米/小时。答案为A【例题4】(2007年国家考试第53题) A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A
13、站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇。相遇地点离A、B两站的距离比是15：16，那么，甲火车在（ ）从A站出发开往B站。A8时12分B8时15分C8时24分D8时30分【例题解析】甲火车4分钟走的路程是乙火车5分钟走的路程，甲、乙的速度比为5:4。相遇时离A、B点的距离比是15:16，则甲、乙开过的路程比是16:15，所用时间比则为3:4，乙用1小时，则有甲用45分，所以甲发车时间为8点15分答案为B【例题5】(2003年浙江一卷14题)甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后 1 分钟遇到丙，再过 分钟第二次遇到乙。已知
14、乙的速度是甲的，湖的周长为600米，则丙的速度为（ ）。 A24米分 B25米分 C 26米分 D27米分【例题解析】甲与乙从第一次相遇到第二次相遇用了1.25+3.75=5分钟，所以甲、乙的速度和为6005=120米/分钟，乙的速度是甲的2/3，所以甲速度是72米/分钟。甲、乙相遇用5分钟，则甲、丙相遇一次用5+1.25=6.25分钟，甲、丙速度和为6006.25=96米/分钟，丙的速度为96-72=24米/分钟答案为A【例题6】从甲地到乙地，客车行驶需8小时，货车需12小时，如果两列车同时从甲地开往乙地，客车到达乙地后立即返回，经过（ ）小时与货车相遇？A9 B9.5 C9.6 D10【例题解析】客车每小时走全程的，货车每小时走全程的，相遇时两辆车加起来走完两个全程，所用时间为2（+）=9.6小时答案为C【例题7】绕湖的一周是20千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以4千米/小时的速度每走一小时后休息5分钟，乙以6千米/小时的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用（ ）小时。A2小时 B2小时10分钟 C2小时15分
