《2020年高考物理复习攻略：极值法（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考物理复习攻略：极值法（教师版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习攻略备战高考专题03 极值问题目录1.二次函数极值法12.和积不等式极值法63. 三角函数极值法114. 几何极值法13极值法是中学物理教学中重要的解题方法,在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。在应用极值法解题时,首先要选用合适的物理模型,应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系,再利用数学方法求其极值。极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法等。1. 二次函数极值法 函数,依的正负,可有极大值、极小值。若求极植可用配方法,当,。（综合图像解）亦可用判别式法：整理为关于的一元二次方程：,若有实解,则,。典例 1. （19年海南卷
2、）三个小物块分别从3条不同光滑轨道的上端由静止开始滑下。已知轨道1、轨道2、轨道3的上端距水平地面的高度均为；它们的下端水平,距地面的高度分别为、,如图所示。若沿轨道1、2、3下滑的小物块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为、,则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】小物块在轨道上下滑的高度为h,到轨道末端速度为v0在轨道末端开始做平抛运动得当时 水平位移s最大当, 时,水平位移相等。故选择BC【总结与点评】对于极值问题,要善于找到未知物理量与某一物理量的关联性,利用物理规律建立函数关系,然后利用函数极值法求解。针对训练1a. 在一次国际城市运动会中,要求运动员从高为H的平台上A点
3、由静止出发,沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B点后水平滑出,最后落在水池中。设滑道的水平距离为L,B点的高度h可由运动员自由调节（取;g=10m/s2）。求：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离,B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SM为多少？（3）若图中H4m,L5m,动摩擦因数0.2,则水平运动距离要达到7m,h值应为多少？【解析】（1）运动员由到,斜面长,由动能定理得： （2）运动员在点做平抛运动 解得 令由二次函数配方法得：当 运动员最大的水平位移为： （3）把数据代入整理得：解得： 【总结与点评】本题第（2）小题求运动员的水平位移,要能自
4、觉地利用动能定理、平抛运动规律构建平抛水平位移与竖直位移函数关系,并注意其在滑道上的水平位移保持不变,这样,构建的函数关系只有两个变量,顺理成章的应用二次函数配方极值法求出极值,也可以应用判别式法求其极值。针对训练1b. 如图1所示,ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道,BC段水平,AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑,与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞,碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上,且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小；碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律,我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上
5、、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示,在固定光滑水平轨道上,质量分别为、的若干个球沿直线静止相间排列,给第1个球初能,从而引起各球的依次碰撞。定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数 a) 求b) 若为确定的已知量。求为何值时,值最大【解析】（1）设碰撞前的速度为,根据机械能守恒定律 设碰撞后与的速度分别为和,根据动量守恒定律 碰撞过程机械能守恒 解得（2）a.由式,考虑到 得根据动能传递系数的定义,对于1、2两球同理对于2、3两球碰撞后,动能传递系数应为依次类推b.将,代入为使最大,通过配方,只需使最大当,即时,最大。【总结与点评】本题考查了机械能
6、守恒定律、及碰撞中的动量守恒定律、动能守恒定律,数学方面考查了递推归纳法、二次函数配方极值法的应用。把以上物理规律与数学方法综合在一起,体现了数学方法在解决物理问题中重要作用,也让学生在解题过程中体会到数学方法的美妙。本题是一道难度较大的压轴题。针对训练1c. 小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动,当球某次运动到最低点时,绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地,如图3所示,已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为,重力加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小,和球落地时的速度大小（2）问绳能承
7、受的最大拉力多大？（3）改变绳长,使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】（1）设绳断后小球的飞行时间为,由平抛规律得： 解得：由机械能守恒定律得：解得：（2）设绳能承受最大拉力为,小球做圆周运动的半径为解得：（3）设绳长为,绳断时小球的速度为 绳断后,小球做平抛运动 解得：令由判别式得 此时【总结与点评】本题是圆周运动与平抛运动的结合,要综合应用圆周运动与平抛运动规律以及动能定理来解题。要注意绳断时的速度即为平抛初速,绳断时既是圆周运动的终点,也是平抛运动的起点,以此临界点为转折,构建其水平位移与绳长的函数关系,进而
8、用二次函数判别式法求出水平位移最大值。2. 和积不等式极值法 在数学,有算术平均数与几何平均数之别,若有,算术平均数,几何平均数为,算术平均数总大于或等于几何平均数： 。由是观之,不等式两边,若为定值,则取值最大,若为定值,取最小值。典例2（18年北京卷）如图所示,用电动势为E、内阻为r的电源,向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值,路端电压U与电流I均随之变化。（1）以U为纵坐标,I为横坐标,在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意图,并说明U-I图像与两坐标轴交点的物理意义。（2）a请在图2画好的U-I关系图线上任取一点,画出带网格的图形,以其面积表示此时电源的输出功率；b请推导
9、该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。（3）请写出电源电动势定义式,并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。【解析】（1）UI图象如图所示,图象与纵轴交点的坐标值为电源电动势,与横轴交点的坐标值为短路电流（2）a如图所示b电源输出的电功率,积定和最小,P取最大值。当外电路电阻,即R=r时,电源输出的电功率最大,为（3）电动势定义式根据能量守恒定律,在图1所示电路中,非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热,即【总结与点评】构建电源的输出功率与外电阻的函数关系,利用和积不等式求解,利用和积不等式和定积最大,积定和最小。针对训练2a.在游乐节目中,选
10、手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上,小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图4所示,他们将选手简化为质量m=60kg的指点, 选手抓住绳由静止开始摆动,此事绳与竖直方向夹角=,绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水面的高度不计,水足够深。取重力加速度, ,（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力,平均阻力,求选手落入水中的深度；（3）若选手摆到最低点时松手, 小明认为绳越长,在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短,落点距岸边越远,请通过推算说明你的观点。【解析】（1）由机械能守恒
11、定律得 在最低点 解得 人对绳的拉力 （2）由动能定理得 （3）选手从最低点开始做平抛运动 且有式 解得 有和积不等式知 当 即时 ,有最大值【总结与点评】本题第（3）小题中,应用动能定理与平抛运动规律推导出、的函数关系式,要有意识地整理出和定积最大的不等式形式,再利用和积不等式极值法求解即可,本题要求学生对和积不等式的各种变式要了然于心。只有这样,才能在解题过程中熟练地应用起来。我们发现,以上几个问题,通过构建物理模型,建立的函数关系非常相似,每个问题均可用以上三个极值法求解,你如果有兴趣,可以试试。笔者再以2012年全国高考（大纲版）理科综合能力测试物理部分试题第26题为例,赏析三种极值法
12、在该题中的具体应用。针对训练2b.一探险队员在探险时遇到一山沟,山沟的一侧竖直,另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧,以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图5所示,以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知,山沟竖直一侧的高度为2h,坡面的抛物线方程为y=x2,探险队员的质量为m。人视为质点,忽略空气阻力,重力加速度为g。（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 【解析】（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x,竖直位移为H,由平抛运动规律有：,整个过程中,由动能定理可得：由几何关系,坡面的抛物线方程解以上各式得：
13、（2）探险队员落到坡面的最小动能,可用三种方法求解方法一：配方得极小的条件为上式中的平方项等于0,由此可得此时,则最小动能为方法二：整理为关于的一元二次方程：由判别式得: 解不等式得：当时,方法三：由,令,则由和积不等式得：当时 时,即,探险队员的动能最小,最小值为【总结与点评】方法一利用配方法,方法二利用判别式法,方法三利用和积不等式求探险队员落到坡面动能的最小值,三种方法异曲同工,相得益彰。本题不仅考查了平抛运动规律、动能定理等物理知识,也考查了抛物线方程、求极值的三种求解方法,较全面地考查了学生的综合能力,是一道名符其实的压轴题。3. 三角函数极值法待求物理量与角度具有关联性,建立函数关
14、系,当角度变化时,待求物理量也发生变化,此时的极值依赖于三角函数求解。典例3.质量为的小车,在地面上用卷扬机来牵引它,它与地面动摩擦因数为,求用力最省时的牵引角。【解析】 模型构建 小车为质点,小车做匀速直线运动数理整合 小车受力如图,建立如图直角坐标系由平衡条件得 得 令代入上式当时,最小【总结与点评】牵引力的极值与力的方向有关,显然要列出两者的函数关系再根据三角函数的值域来确定其极值。针对训练3. 如图2,一个质量为的圆环用细绳悬挂着,有两个质量均为的小球套在圆环上,可沿圆环无摩擦地滑动,现将两小球同时从环的顶端释放,使其沿相反方向自由滑下,欲使圆环能够升起,求小球的最小质量。【解析】模型构建 两小球视为质点,环为光滑的圆环,两小球在环两侧对称的圆周运动。数理整合 设小球滑到图示位置,对小球受力分析 由机械能守恒定律得： 解得： 对圆环在竖直方向进行受力分析,设绳拉力为,则: 圆环上升时,绳对大圆环产生的向上的拉力 以上各式联立解得：.由和积不等式得
