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1、第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用 第一节 向 量1数量积1）几何表示：.2) 代数表示: .3) 运算规律: i) 交换律: ii) 分配律: 4) 几何应用: i) 求模: ii) 求夹角: iii) 判定两向量垂直: 2.向量积 1) 几何表示 是一向量. 模: . 方向: 右手法则.2) 代数表示: .3) 运算规律 i) = ii) 分配律: ()=+.4)几何应用:i) 求同时垂直于和的向量: .ii) 求以和为邻边的平行四边形面积:|.iii)判定两向量平行: .3.混合积: 1) 代数表示:.2) 运算规律:i) 轮换对称性: .ii) 交换变号: .3)
2、 几何应用 i) =.ii)判定三向量共面: 共面()=0.题型一 向量运算例8.1 设则.解 .例8.2 已知,则.解 .例8.3 已知,且,则.A)2 B)2 C) D)1解 由于，而，则，从而.故 题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知,求与的角平分线向量且使其模为。解 设与的角平分线向量为，则，其中为待定常数. 由和知. 由，得. 故.例8.5设分别为点的矢径向量,试证:三点共线证 由以上分析知三点共线. 而，则 .故三点共线.第二节 直 线 与 平 面1平面方程1） 一般式： .2) 点法式: . 3) 截距式: .2. 直线方程1)一般式: 2)对称式: 3)参数式:
3、3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角） 关键：平面的法线向量，直线的方向向量。4. 点到面的距离点到平面的距离. 5.点到直线距离点到直线的距离为 题型一 建立直线方程例8.6 求过点且与下面两直线和 都垂直的直线.解法1 设,.解法2 .解法3 过点且与垂直的平面. 过点且与垂直的平面.所求直线方程为 例8.7 求过点且平行于平面,又与直线相交的直线方程.解法1 设所求直线的方程为，由于该直线与平面平行，则. 又因为所求直线与直线相交，则将得即 . 由式和式可得. 令，则，.则所求直线方程为解法2 过点且与平面平行的平面的方程为，即 .为求平面和直线的交点，解方程组由所求直线上点和知
4、其方程为.解法3过点且平行于平面的平面方程为：，即 .过直线 的平面束方程为， 将点的坐标代入上式得 .将代入上式得过点和直线的平面方程为.则所求直线方程为 题型二 建立平面方程例8.8 求过原点且与两直线,及都平行的平面方程.解法1 显然直线 及的方向向量分别为和 .则所求平面的法向量为.平面过原点，则所求平面的方程为，即 .解法2由题设知，两条已知直线的方向向量分别为和.设为所求平面上任一点，由题设知向量与和共面，则，即，亦即.例8.9求过直线且垂直于平面的平面方程.解法1 ,解法2 平面束， 题型三 与平面和直线位置关系有关的问题例8.10 直线 和直线是否相交?如果相交求其交点,如果不
5、相交求两直线间距离.解 直线的方向向量，直线的方向向量为.点为直线上的点，点为直线上的点，则.与直线和共面的充要条件是向量，混合积为零，即.故，当时，直线与相交，时与不相交.1）当时，为求得直线与的交点，令，则.代入 得 .则与交点为.2）当时，为求得直线与之间距离，考虑直线和的方向向量，和向量，由两直线之间的距离公式知. 例8.11设直线,求与直线, 都垂直且相交的直线方程.解 由题设知，直线和的方向向量分别为和.则所求直线方向向量为.过直线且平行于的平面的方程是，即.同理，过直线且平行于的平面方程是，即.则所求直线方程为第三节 曲面与空间曲线1. 旋转面: 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
6、;2. 柱面: 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹;3. 锥面: 过定点并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.4. 常见二次曲面5. 空间曲线:i)参数式:ii)一般式:6.空间曲线投影题型一 建立柱面方程例8.12求以曲线为准线，母线平行于轴的柱面. 解 将代入得，即为所要求的柱面.例8.13求以曲线为准线，母线平行于直线的柱面方程.解 过曲线上点且平行于直线的直线方程为，消去方程组中的得.化简可得为所求柱面方程.题型二 建立旋转面方程例8.14求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程1) ,分别绕轴和轴旋转.2) ,分别绕轴和轴旋转.解 1）绕轴旋转面方程：；绕旋转面方程：.2
7、）绕轴旋转面方程：，即； 绕旋转面方程：例8.15 求直线绕轴旋转所得旋转面方程. 解 设为旋转面上任一点，它对应曲线上的点为，这里，则，又满足，则，代入上式知，即 .题型三 求空间曲经的投影曲线方程例8.176求曲线在面和面上的投影曲线方程.解:在面上的投影为, 在面上的投影为. 第四节 多元微分在几何上的应用1. 曲面的切平面与法线1) 曲面,法向量: ；2) 曲面,法向量: .2. 曲线的切线与法平面 1)曲线,切向量: .2)曲线,切向量: 其中,.题型一 建立曲面的切平面和法线方程例8.17 求曲面在点处的切平面和法线方程.解 令，则于是 ，或取.故所求切平面方程为 ，即.法线方程为
8、 .例8.18设直线在平面上，而平面与曲面：相切于点（1,-2,5）,求之值.解法1曲面在点处的法线向量为于是切平面方程为 即 （1）由， 得代入（1）式得 因而有 由此得出 解法2 由解法1知，的方程为，过的平面束为即 令 则 例8.19在椭球面位于第一卦限的部分上求一点,使椭球面过点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小.解法1 在椭圆面位于第一卦限的部分上任取一点，过点的切平面方程为.该切平面在轴上的截距分别为，该切平面与三个坐标面围成四面体的体积为，令，则由上式得，.于是点是唯一可能取得极值的点，根据题意体积最小值存在，则点为所求的点.解法2 由解法1知，四面体体积，要使最小，等价
9、于最大. 这里。由不等式知，时最大，即最小. 将代入解得，. 故 点为所要求的点.例8.20已知曲面,且可微,证明该曲面为柱面.证 要证明曲面是柱面只需证明曲面上任一点的法向量垂直于定向量.令，则 .于是曲面在任一点处的法向量为.设定向量为，取 ，则有，原题得证.题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程例8.21 求曲线,在点处的切线方程和法平面方程.解 由于，在处切线向量为.则所求切线方程为.法平面方程为 ，即.例8.22求曲线在点处的切线和法平面方程.解 曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，则.故原曲线在处切线方程为：.法平面方程为，即.第五节 方向导数与梯度1.方向导数:1)定义:
10、.2)计算: 若可微,则.2.梯度:1)定义:.2)计算:.题型一 方向导数与梯度的计算例8.23函数在点处沿指向方向的方向导数为 解 ， ，则所求的方向导数为：. 例8.24 函数在点(0,0)处.A)不连续; B)偏导数存在; C)沿任一方向的方向导数不存在; D)沿任一方向的方向导数均存在;例8.25设,则A)在(0,0)点连续; B) ;C)，其中为任一方向的方向余弦.D）在点沿轴负方向的方向导数为.例8.26在椭球面上求一点,使函数在该点沿方向的方向导数最大.解 在椭球面上任取一点，则函数在该点沿方向的的方向导数为.令 ，由上式得.则点处沿方向的方向导数最大.例8.27设是上的一个可微函数,且,其中,为常数,试证明在上有最小值.证 因为，由极限保号性知，存在，当时（即时）.从而有 . 若用表示点处极径方向，则 .这里为在点处沿极径方向的方向导数，由式知，则在区域上任一点沿极径方向为增函数，由可微性知，连续，则在有界闭域上有最小值，由于在上任一点沿极径方向为增函数，则在上的最小值也是在全平面上的最小值，故原题得正.16
