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1、. . .双层网、群落、级联事件等复杂网络研究毕业论文目 录摘 要IAbstractV1引言11.1 复杂系统与复杂网络理论11.2 图论概念及网络主要统计性质31.3 双层网研究背景71.4 群落研究背景91.5 级联事件研究背景111.6 科研模型研究背景132 层状网的拓扑关系172.1引言172.2 度关系182.3 集群系数关系212.4 讨论252.5 结论273 基于非拓扑结构的群落划分293.1 引言293.2 网络流、群落、层次303.3 一个代表性的科学家网络323.4 基于拓扑的群落划分结果333.5 加权Newman的结果353.6 总结364两种级联事件的特性394.
2、1 引言394.2 已有雪崩模型404.3 一个沙堆模型414.3.1 一对一的弹性碰撞414.3.2 n对1的完全非弹性碰撞424.3.3 n2-n+1对2n 完全非弹性碰撞434.4 一个人口增长模型444.5 一些实证结果454.5.1 San Juan Mountains雪崩454.5.2 几个国家的人口增长464.6 结论和讨论475 一个简化的刊物、作者、编委相互作用模型515.1 引言515.2概率论的一些重要概念515.3模型及相关的实证研究525.4 模型解析555.4.1 期刊影响因子和编委水平关系的解析555.4.2 编委在本刊发文概率解析575.5 结论586 总结与展
3、望596.1 本文工作总结596.2 进一步工作60参考文献61致 谢66论文发表情况及参加科研项目68.参考资料. . .1引言1.1 复杂系统与复杂网络理论在经典力学和经典电磁学中研究对象运动物质，可以被分割成无限多个无限小而在空间中又连续分布的基本单元集合。这些基本单元（质点或者电荷元）可想象成放在均匀空间的规则格点位置上，因此，使用千年前数学家们创造的坐标体系可以完善地描述这种体系的运动。尽管各个基本单元空间位置是不同的，而且还在随着时间变化，但由于它们间的相互作用遵从了已经知道的简单、普适基本法则，因此运用几百年前创立的微积分（以及基本思想与其类似的一些现代的数学工具）就可以非常简明
4、地表示出支配每一大类客观体系运动变化的普遍动力学规律，并且可以准确地预言出这些体系未来的行为，为人类服务。以坐标的运动学描述和微积分工具（以及其它基本思路相类似的现代数学方法）为基础的动力学描述起着现代物理学辉煌大厦的支柱性作用。然而，自然界中还存在着大量不适于或不能够用这种方法论（被称为“还原论”）所讨论的系统。在第一类系统中，虽然我们原则上可以用还原论来进行它们演化的讨论，但实际上，由于基本单元的相互作用涉及到了非常多的因素，这些因素又在极其错综复杂地交连，所以不但进行动力学的解析不可能，数值计算也不大可能。与国计民生密切相关的气象系统、地震系统、足够复杂结构的各类材料系统都是这种系统的例
5、子。可以说随着物理学研究的不断深化，几乎各个物理学分支的前沿都会涉及到这类复杂系统。物理学家越来越认识到不能继续被局限在还原论的框架中去讨论这类系统，必须探讨出全新的思想方法才有可能解决问题的希望。除此之外，另一类系统则根本不可能用还原论来处理，这是由于这类系统基本单元的“组织”可能“涌现”出许多种大量分立个体所不可能展示的性质，因此不可能仅依据单元个体性质来预言系统整体的丰富行为。这类系统的最典型代表是具有生命特征的所谓“自适应系统”（即基本单元具备依据外界信息进行预期、采取对策、改进自身及其与其它单元或环境关系的系统），例如生物系统、生态系统、社会系统、经济系统等。近几十年来，由于各门科学
6、，尤其是计算机科学和非线性科学的发展，许多科学家（包括物理工作者）认为突破还原论的限制，寻求描述复杂系统的概念及理论，把物理学的适用领域推广到复杂系统的任务已经提上了日程。改造世界必须先要认识世界，而认识世界则又必须先描述世界。世界上的客观系统是由规则、均匀分布，全同、遵从简单普适规律基本单元构成，还是由高度不规则、不均匀分布，显示丰富多彩的种类、相互作用、组织的基本单元构成？这可能是把物理学推广向复杂系统时要回答的首要问题。这个问题看来正在引起物理学家（以及许多领域的科学家）对复杂网络研究的空前热烈兴趣。复杂网络的研究方法是以著名数学家欧拉1736年创立的图论以及其它一些理论和方法为基础的，
7、把复杂系统简化成点以及连接点的线段的集合。点可代表系统中的基本单元，称为节点；线段代表节点之间的交互作用，称为边。每个节点和每条边还可以加上称为“权”的不同的含义。复杂网络又融合了计算机科学和统计物理学的许多最新成果，更适用于描述典型的复杂系统，是广为引人注目的前沿交叉学科。目前，国外都已形成了复杂网络理论研究和应用的热潮，并发表了大量的文献。虽然传统的图论研究并不是以复杂系统动力学描述为目标的，它也不能够满足研究复杂网络的所有需要，但是目前还没有其他更好的选择。图论经过了这几百年的发展，可谓博大精深，积累的成果足够我们参考使用。图论是从欧拉研究哥尼斯堡七桥问题开始的。哥尼斯堡被河流分割为四个
8、地区，由河上的七座桥连接而成。是否可能存在一条路径，使得人们可以完全走遍四个地区，而把每座桥走一次并只走一次？这也是后来图论中 “连绘图”问题。欧拉的做法是把每个地区抽象为一个点，称为图的节点，每座桥抽象为两个节点之间的一条边，欧拉从这种简化模型出发，完全解析地得到这样的遍历七座桥的路径是不可能存在的。从1736 年直到20 世纪50 年代末，图论研究主要采取人工分析、解析证明的方法。但这样研究的图论问题恐怕最多只能包括几百个节点。除哈密顿问题之外，传统图论的研究还包括图的着色问题（即平面地图的四色猜想等）、赋权图（如考虑到道路通行的难易程度等）中的最短路径问题、连通性问题、匹配问题等等，取得
9、了十分丰富的解析成果。在1950年之后，随着计算机的发明应用，用矩阵描述图的方法引起了广泛的注意。用此方法可以研究一些超大规模的图（也称之为网络）。这样，用图的方法来描述如电力网、交通网、通讯网等这些超大规模实际网络的问题就有了可能。但随之而来的问题是：大规模实际网络的共同特性有哪些？显然，这些实际网络并不是完全规则的，那么，它们是否可能用随机产生的图来描述研究呢？如果可能，完全随机的图又如何进行解析？这正是20 世纪下半叶图论科学家所研究的主要问题。匈牙利的数学家Erdos和Renyi提出了ER随机网模型, 并作出了很多解析结果，代表了这一时期图论研究的最高成就和研究潮流。他们在ER 随机网
10、模型中定义在每个时间步，由N 个节点构成的一维图中, 以概率p随机选择图中的两个节点并连接一条边，如此重复演化，直到形成一个随机网络。他们解析地得到了许多重要拓扑性质，并为后来的图论研究提供了重要基础。1998、1999两年, 两项研究成果促使了复杂网络研究热潮的诞生。随着一些物理学家把统计物理学的理论引入到网络研究，开创了复杂网络研究的全新时代。重要的发现是许多实际网络的一些性质（如集群系数）和规则网络相似，而有另一些性质（例如平均距离）和随机网络相似，这就称为“小世界性”1；还有性质，如度分布，既不和规则网络（函数）的结果相似，也不和随机网络（高斯分布）的结果相同，而是近似地遵循幂函数分布
11、，这就称为“无标度性”2。此外，许多实际网络还显示出集团结构。在网络研究中，曾用群落或社团3,4、子图、派系、模块等一些概念5-6来描述集团结构，这些概念从不同角度出发，有些是定量的，有些是定性的，但是都具有一定的意义。一个集团常常显示了网络所实现功能的组织结构。这个特征在社会网和生物网研究中更加倍受关注3,4。1.2 图论概念及网络主要统计性质71.2.1 图1、二元关系：1）有序对： 有序对表示有顺序二事物的排列。若A、B为二集合，且，则所有的有序对的集合称为A、B的“有序积”，记为。2）二元关系：有序积的一个子集称A到B的一个有序的二元关系。特别地当时，A到B的二元关系则称A上的一个二元
12、关系（A中各个元素及其关系的总称）。3）无序对：无序对表示无顺序的二个事物排列，即。则的无序对集合称为A、B的无序积，记为A D B，它的一个子集同样称为A、B的一个二元关系。2、图: 一个图G定义为一个对（V,E），记为G=(V,E)。其中，V是节点集合，E是边的集合，而一条边是两个节点的有序或者无序对，即或者V D V。也就是说，图论研究的对象-图，是对系统中基本单元（称为节点）集合，以及每两个基本单元之间关系（称为边）集合之间关系的描述。或者说，对所有节点和所有边间关系（如何连接的）的描述。边有方向的图称为“有向图”（有序的二元关系），边无方向的图称为“无向图”（无序的二元关系）。无边的
13、图可称为“空图”。节点的个数称为图的“阶”。1.2.2 相邻同一个节点连向其它不同节点的边称为此点的“邻边”。同一条边连接的两个端点互称为“邻点”。1.2.3 简单图端点重合的一条边被称为“环”。两个端点都相同的边称为“多重边”。没有环或者多重边的图或者子图可称为“简单图”，否则称为“复图”。1.2.4 完全图每一对节点之间均有一条边连接的简单图或者简单子图则称为“完全图”。完全图所含的节点数称为 “阶”。n阶完全图记为，它有条边。1.2.5 道路图G中一个节点与边的交替序列为： ，这条序列称为G中的一条“路径”（或称途径），称途径的起、终点，中的边数称为路径的“长”。若路径的边均不同，称为G
14、中的一条“道路”。之间最短的一条道路为“最短道路”。最短道路的长称为“距离”，记为。若之间不存在道路，记作。图G中最大的距离称为G的“直径”，记为。它表示G中相距最远两节点间最短道路的边数。一条闭道路称为“圈”（环由一条边构成，圈由多条边构成）。图G中最短的圈长称为G的“围长”。图G中最长的圈长称为G的“周长”。1.2.6 连通若G中每对不同节点、之间都至少存在了一条道路，称G“连通”，两连通节点记为。若G中任意两个节点、属于且仅属于G中的一个子集时才连通，称为G的一个“连通分支”（或者简称“分支”）。分支数1的图称“连通图”，分支数1的图称“非连通图”。1.2.7 图的邻接矩阵及网络主要特性
15、1）图的邻接矩阵表示图中各个节点之间的邻接关系，它包含了网络的最基本拓扑性质。对一个n阶无向图，邻接矩阵是一个对称的方阵。邻接矩阵元的定义是： 2）如果节点，则图G中与节点连接的边数称为节点在图G中的度，记为。不难理解，图G中所有节点度之和为总边数的2倍，即，其中为图G中的总边数。复杂网络是目前一种好的描述复杂性系统的方法。许多复杂的系统通过用网络来定义，研究起来就变得容易得多了。网络的结构特性中，度定义为节点的邻边数，度分布则定义为任选其一个节点，它的度恰好为k的概率。3)集群系数（三环或者三完全图的统计描述）定义为网络中节点的邻点之间也互为邻点的比例，即小集团结构的完美程度。网络中节点的集群系数定义为：，其中，表示网络中包含节点i的三角形的总数; ，表示网络中包含节点i的“三元组”的总数。一个节点的集群系数也可表示为：，其中表示节点i的邻点之间的连边数，表示节点i的度，即节点i的邻边数。则网络的集群系数可表示成：。 4)群落是网络的重要特性，但关于群落及层次的定量定义，还没有得到普遍承认
