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1、天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.若在复平面内，复数所对应的点为，则（ ）A.B.C.D.3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A.B.C.D.4.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，
2、3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到，则下面被抽到的是（ ）A.44号B.294号C.1196号D.2984号5.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）A.B.C.D.6.已知幂函数的图象过点，且，则，的大小关系为（ ）A.B.C.D.7.已知非零向量，满足，若，夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）A.B.C.或D.8.记单调递增的等比数列|的前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.9.函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.10.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.11.已知点是椭圆：
3、上的一点，是椭圆的左、右焦点，是的平分线.若，垂足为，则点到坐标原点的距离的取值范围为（ ）A.B.C.D.12.已知球的体积为，圆柱内接于球0，其中，分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱的表面积的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值为_.14.函数的极小值为_.15.已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为_.16.记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
4、.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：男性观众女性观众认为中国男篮能够进入十六强60认为中国男篮不能进入十六强若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为.（）完善上述表格；（）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？附：，其中.18.的内角，的对边分别
5、是，已知.（）求角；（）若，求的面积.19.如图，四棱锥的底面是菱形，平面平面，是等边三角形.（）求证：；（）若的面积为，求点到平面的距离.20.已知函数.（I）若，求曲线在处的切线方程；（）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.21.已知抛物线：（）.（）若抛物线的焦点到准线的距离为4，点，在抛物线上，线段的中点为，求直线的方程；（）若圆以原点为圆心，1为半径，直线与，分别相切，切点分别为，求的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的
6、正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；（）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知，是正数.（）若，证明：；（）若，求的最小值.天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试文科数学.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，得，故.2.【答案】A【命题意图】本题考查复数的运算，复数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，得，则.3.【答案】B【命题意图】本题考查数学文化、
7、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】根据算筹横式与纵式的区别，56846可以表示为.4.【答案】B【命题意图】本题考查随机抽样，考查运算求解能力以及必然与或然思想.【解析】从3000名员工中抽取200人，样本间隔为.由84号被抽到知，被抽到的员工的最小编号为9，所以被抽到的编号为（，且），经检验只有294符合.5.【答案】C【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此时要输出的值为99.6.【答案】A【命题意图】本题考查指对数的大小关系，考查推理论证能力.【解析】依题意，得
8、，故，故，故.7.【答案】D【命题意图】本题考查向量数量积的应用，考查运算求解能力.【解析】依题意，得，即.将代入可得，解得（舍去）.8.【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式以及等比数列的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】.设等比数列的公比为，由，得，即，因为数列单调递增，所以.所以，解得.所以，.9.【答案】A【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】依题意，且函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，排除C；，排除B；，排除D，故选A.10.【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结
9、合思想.【解析】依题意，得.因为，所以，所以.由不等式恒成立，得解得.故实数的取值范围为.11.【答案】C【命题意图】本题考查椭圆的定义，椭圆的方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】延长，相交于点，连接.由题意知平分.又因为，所以，所以为的中点.因为为的中点，所以，所以的取值范围为.12.【答案】B【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】设球的半径为，依题意，得，解得.根据题意画出图形，如下图所示.设，则圆柱底面半径为，则圆柱的高为，则圆柱的表面积，其中，故圆柱的表面积的最大值为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【
10、答案】7【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.14.【答案】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】依题意，得，.令，解得.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极小值.15.【答案】或【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想.【解析】联立解得.所以的面积，所以.而由双曲线的焦距为知，所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.16.【答案】【命题意图】本题考查数列的递推公式，
11、等差数列的前项和公式，数列的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】依题意，得，则.两式相减，可得.所以数列为等差数列.由，得.又，解得.所以，则.令，则.当时，数列单调递减，而，故，即实数的取值范围为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查古典概型的概率、独立性检验，考查运算求解能力以及必然与或然思想.【解析】（）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为.完善表格如下表所示：男性观众女性观众认为中国男篮能够进入十六强6050认为中国男篮不能进入十六强4050（）本次试验中，的观测值.所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮
12、能否进入十六强持有的态度有关.18.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（）由，得.所以由余弦定理，得.又因为，所以.（）由，得.由正弦定理，得.因为，所以.又因，所以.所以的面积.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】（）取的中点，连接，.因为是等边三角形，是的中点，所以.因为四边形是菱形，所以是等边三角形，所以.因为，且平面，平面，所以平面.又因平面，所以.（）设，则，解得.因为平面平面，所以平面.记点到平面的距离为，则.易知，.在中，由，得.边上的
13、高为.所以.而，所以.解得.即点到平面的距离为.20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（）当时，则.所以.又，故所求切线方程为，即.（）依题意，得，即恒成立.令，则.当时，因为，不合题意.当时，令，得，显然.令，得或；令，得.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，所以，只需，所以，所以实数的取值范围为.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（）由抛物线的焦点到准线的距离为4，得.所以抛物线的方程为.设，则，所以，即.因为线段的中点的坐标为，
14、所以且.所以.故直线的方程为，即直线的方程为，经检验符合题意.（）设直线的方程为（）.代入，得.（*）由直线与抛物线相切可知，故.又直线与圆相切，所以，即.联立，得，故.设，解（*）式可得，从而.故，当且仅当时，有最小值，为.22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（）将两式相加，可得，所以.所以，整理得.故曲线的普通方程为.依题意，得直线：，即.所以直线的直角坐标方程为.（）设直线：（为参数），代入中，得.设，对应的参数分别为，则，.所以.23.【命题意图】本题考查不等式证明的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】（）依题意，当且仅当时等号成立.因为，所以，所以.（）因为，所以.而，当且仅当时等号成立.三式相加，可得，所以.故，即的最小值为8.
