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1、 一元二次方程的根与系数的关系 八年级 下 18 4 礼县永兴中学刘燕 微课教学 2020 5 14 2 根据你的观察 猜想 方程ax2 bx c 0 a 0 的根若是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 你能证明上面的猜想吗 3 5 2 15 1 动手操作 填写下表 然后观察根与系数的关系 2020 5 14 4 2020 5 14 5 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系 1 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根为x1 x2 知识点 那么 这个关系通常称为韦达定理 Vieta stheorem 2020 5 14 6 我们把方程ax2 bx c 0 a 0 变形为 我们可以把
2、方程写成 的形式 知识点 2020 5 14 7 2 如果方程x2 px q 0的两根为x1 x2 那么 对于简化的二次方程 两根之和等于一次项系数的相反数 两根之积等于常数项 这个定理又叫做韦达定理 对于简化的二次方程 一次项的系数等于两根之和的相反数 常数项等于两根之积 这是韦达定理的逆定理 知识点 x1 x2 p x1 x2 q 2020 5 14 8 3 1 应用一元二次方程的根与系数关系时 首先要把已知方程化成一般形式 2 应用一元二次方程的根与系数关系时 要特别注意 方程有实根的条件 即在初中代数里 当且仅当b2 4ac 0时 才能应用根与系数的关系 3 已知方程的两根 求作一元二
3、次方程时 要注意根与系数的正 负号 注意 知识点 2020 5 14 9 练习 1 下列各方程中 两根之和与两根之积各是多少 x2 3x 1 0 2 3x2 2x 2 3 2x2 9x 5 0 4 4x2 7x 1 0 5 2x2 3x 0 6 3x2 1 两根之积为 1 两根之积为 4 两根之和为 两根之积为 5 两根之和为 两根之积为 0 两根之积为 两根之积为 2020 5 14 10 提示 应用韦达定理可得 2 判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根 1 x2 5x 4 0 1 4 不是 2 x2 6x 7 0 1 7 是 3 2x2 3x 1 0 1 是 4 3x2 5x
4、2 0 2 不是 5 x2 8x 11 0 是 动脑筋想一想 练习 2020 5 14 11 例题讲解 4 x2 答 方程的另一根为 k的值为7 思考 还有其它解法吗 4 x2 例1 已知关于x的方程2x2 kx 4 0的一个根是 4 求它的另一根及k的值 2020 5 14 12 方程2x2 kx 4 0的一个根为 4 则2 4 2 4 k 4 0 2 16 4k 4 0 k 7 2x2 7x 4 0 方程2x2 kx 4 0的一个根为 4 2 4 2 4 k 4 0 2 16 4k 4 0 k 7 即2x2 7x 4 0 法2 法3 解此方程 x1 4 又 例题讲解 例1 已知关于x的方程
5、2x2 kx 4 0的一个根是 4 求它的另一根及k的值 2020 5 14 13 例2已知两数的和为3 积为 4 求 这两个数 解法1 设两个数中的一个数为x 因为两数之和为3 所以另一个数为 3 x 再根据 两数之积为 4 可列出方程x 3 x 4 即 x2 3x 4 0 即 x 4 x 1 0 即x 4或x 1 这两个数为4或 1 分析 我们可以用多种方法来解决这个问题 解法2 设两个数是x y 可列出方程组的解法 解法3 因为两根和与两根积都已知 我们可以直接构造出一个简化的一元二次方程 即 x2 3x 4 0 这就是方法1得到的方程 下同解法1 例题讲解 2020 5 14 14 它
6、的另一根为 3 m的值为 5 2 已知关于x的方程x2 mx 2m n 0的根为2 且根的判别式为0 求m n的值 m的值为 4 n的值为 12 1 已知关于x的方程2x2 mx 3 0的一个根是 求它的另一根及m的值 课堂练习 2020 5 14 15 2 如果方程x2 px q 0的两根为x1 x2 这时韦达定理应是 x1 x2 p x1 x2 q 3 一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用 这就是我们今天主要学习的内容 你学会了吗 课堂小结 1 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根为 x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 这个关系通常称为韦达定理 2020 5 14 16 1 教材P36习题18 4第1 2 3 4 5题 2 推导一元二次方程根与系数的关系 作业 2020 5 14 17 3 已知方程3x2 19x m 0的一个根是1 求它的另一个根及m的值 答案 另一个根是 m的值为16 动动脑 还有其他解法吗 想一想 2020 5 14 18 4 求一个一元二次方程 使它的两根分别是 1 7 分析 对于简化的一元二次方程 一次项的系数等于两根之和的相反数 常数项等于两根之积 解 x1 x2 1 7 6 x1 x2 1 7 7 x2 6x 7 0 即x2 6x 7 0是所求的方程 2020 5 14 19 谢谢各位老师莅临指导
