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1、1 傅里叶级数定义及适用条件2 常见周期信号的频谱 非周期性信号的频谱3 傅里叶变换的定义及适用条件及性质4 周期信号的傅里叶变换5 抽样定理6 功率频谱与能量频谱7 系统频域分析法8 希尔伯特变换 第3章傅里叶变换 重点 傅里叶1768年生于法国 1807年提出 任何周期信号都可用正弦函数级数表示 1822年在 热的分析理论 一书中再次提出 1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件 傅里叶变换得到大规模的应用 则是到了上世纪60年代之后 3 1傅里叶变换的产生 傅里叶的两个最主要的贡献 1 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 2 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 周期的终点
2、设三角函数的完备函数集为 其中 三角函数集也可表示为 3 2 1傅里叶级数的三角形式 基频 周期 周期的起点 满足 1 正交性 函数集中的任意函数两两相正交 有 可以将 任意 周期函数在这个正交函数集中展开为 称为傅里叶级数 傅里叶级数的三角展开式 直流分量 n 1 n 1 基波分量 n次谐波分量 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开 1 从三角函数形式的傅里叶级数推导 3 2 2傅里叶级数的复指数形式 的具体求法如下 式中 例 求的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数 已知冲激序列 的三角傅里叶级数为 解 求下图中三角波的三角傅里叶级数 将 去除直流分量 则仅剩交流分量 例 解 故 2 利用直接
3、法求解 故 常称为f t 的截断傅里叶级数表示式 用MATLAB的符号积分函数int 可表示上式 格式为 1 intf int f v 给出符号表达式f对指定变量v的 不带积分常数 不定积分 2 intf int f v a b 给出符号表达式f对指定变量v的定积分 3 2 3傅里叶级数的MATLAB仿真实现 3 3周期信号的对称性 1 纵轴对称性 1 如果原函数是偶函数 则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量 即偶函数之和仍然是偶函数 2 如果原函数是奇函数 则其傅里叶级数中只有正弦分量 即奇函数之和仍然是奇函数 满足的周期为T的函数 即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称 定义 奇谐函数
4、偶谐函数 满足的周期为T的函数 即平移半个周期后信号与原信号重合 2 横轴对称性 2 偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量 1 奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量 如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数 那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量 利用奇谐函数 偶谐函数性质的时候 最好将其直流分量去掉 以免发生误判 已知奇谐函数 例 解 3 4常见周期信号的频谱 3 4 1频谱的概念 频谱图 表示信号含有的各个频率分量的幅度值 其横坐标为频率 单位为赫兹 纵坐标对应各频率分量的幅度值 振幅频谱 幅频特性图 表示信号含有的各个频率分量的相位 其横坐标为频率 纵坐标
5、对应各频率分量的相位 单位常用度或弧度 相位频谱 相频特性图 例 求频谱 解 1 单边频谱 2 双边频谱 包络线 频谱图随参数的变化规律 1 周期T不变 脉冲宽度 变化 情况1 第一个过零点n 8 情况2 第一个过零点为n 16 情况3 由大变小 Fn第一过零点频率增大 即所以称为信号的带宽 确定了带宽 由大变小 频谱的幅度变小 由于T不变 谱线间隔不变 即不变 结论 不变 Fn的第一个过零点频率不变 即带宽不变 T由小变大 谐波频率成分丰富 且频谱幅度变小 T 时 谱线间隔 0 这时 周期信号 非周期信号 离散频谱 连续频谱 结论 典型周期信号的频谱分析 可利用傅里叶级数或傅里叶变换 典型周
6、期信号如下 1 周期矩形脉冲信号2 周期对称方波信号3 周期锯齿脉冲信号4 周期三角脉冲信号5 周期半波余弦信号6 周期全波余弦信号 3 4 2常见周期信号的频谱 1 周期矩形脉冲信号 1 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解 设周期矩形脉冲 脉宽为 脉冲幅度为E 周期为T1 2 周期矩形脉冲信号的幅度 相位谱 复数频 实数频谱 幅度谱与相位谱合并 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况 对称方波信号有两个特点 1 是正负交替的信号 其直流分量a0等于零 2 它的脉宽恰等于周期的一半 即t T1 2 2 周期对称方波信号的傅里叶级数 幅度谱 3 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解 周期锯齿脉冲
7、信号 是奇函数故 可求出傅里叶级数系数bn 如何求bn留作思考 其傅里叶级数表达式为 此信号的频谱只包含正弦分量 谐波的幅度以1 n的规律收敛 4 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解 周期三角脉冲信号 是偶函数 故 可求出傅里叶级数系数a0 an 如何求bn留作思考 此信号的频谱只包含直流 基波及奇次谐波分量 谐波的幅度以1 n2的规律收敛 其傅里叶级数表达式为 5 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解 周期半波余弦信号 是偶函数 故 可求出傅里叶级数系数a0 an 如何求bn留作思考 此信号的频谱只包含直流 基波及偶次谐波分量 谐波的幅度以1 n2的规律收敛 其傅里叶级数表达式为 6 周期全波余弦
8、信号的傅里叶级数求解 周期全波余弦信号 是偶函数 令余弦信号为 则 全波余弦信号为 此信号的频谱只包含直流 基波及偶次谐波分量 谐波的幅度以1 n2的规律收敛 其傅里叶级数表达式为 如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号 必然引进一个误差 如果完全逼近 则n 实际中 n N N是有限整数 如果N愈接近n 则其均方误差愈小若用2N 1项逼近 则 3 4 3吉布斯效应 对称方波 是偶函数且奇谐函数 所以其只有奇次谐波的余弦项 例 对称方波有限项的傅里叶级数 N 1 2 3时的逼近波形 3 N 3 1 N 1 2 N 2 有限项的N越大 误差越小例如 N 9 N越大 越接近方波快变信号 高频
9、分量 主要影响跳变沿 慢变信号 低频分量 主要影响顶部 任一分量的幅度或相位发生相对变化时 波形将会失真 有吉伯斯现象发生 结论 以周期矩形脉冲为例 只需修改上面程序 3 2 3节 中函数CTFShchsym m的内容 需注意 因周期信号频谱是离散的 故在绘制频谱时采用stem而非plot命令 谐波阶数取 还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶 上机练习 3 4 4周期信号的MATLAB仿真实现 对周期矩形脉冲信号 有 3 5非周期性信号的频谱 3 5 1从傅里叶级数到傅里叶变换 从物理概念考虑 信号的能量存在 其频谱分布的规律就存在 由于 1 从周期信号到非周期信号 从傅
10、里叶级数到傅里叶变换 信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的 T 时 信号的频谱分布仍然存在 结论 无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量 从数学角度来看 所以 傅里叶级数展开为 为频谱密度函数 定义 周期信号 频谱是离散的 且各频率分量的复振幅为有限值 非周期信号 频谱是连续的 且各频率分量的复振幅为无限小量 所以 对非周期信号来说 仅仅去研究那无限小量是没有意义的 其频谱不能直接引用复振幅的概念 3 正 逆傅里叶变换 反变换 正变换 傅里叶变换存在的充分条件 用广义函数的概念 允许奇异函数也能满足上述条件 因而象阶跃 冲激一类函数也存在傅里叶变换 4 傅里叶变换的另外几种形式
11、 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱 1 单边指数信号6 符号函数2 双边指数信号7 冲激函数傅里叶变换对3 奇双边指数信号8 冲激偶的傅里叶变换4 矩形脉冲信号9 阶跃信号的傅里叶变换5 钟形脉冲信号10 复正弦信号 3 5 2常见信号的傅里叶变换 1 单边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为 利用傅里叶变换定义公式 单边指数信号的频谱如下 2 双边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为 正实函数 利用傅里叶变换定义公式 求解过程 双边指数信号的频谱如下 3 奇双边指数信号的傅里叶变换 频谱如下 时域有限的矩形脉冲信号 在频域上是无限分布 常认为信号占有频率范围 频带B 为 5 钟形脉
12、冲信号的傅里叶变换 高斯脉冲 其傅里叶变换为 正实函数 因为钟形脉冲信号是一正实函数 所以其相位频谱为零 频域频谱 6 符号函数的傅里叶变换 其傅里叶变换为 纯虚数函数 符号函数不满足绝对可积条件 但它却存在傅里叶变换 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘 求出奇双边指数的频谱 再取极限 从而求得符号函数的频谱 7 冲激函数傅里叶变换对 直流信号的傅里叶变换是冲激函数 8 冲激偶的傅里叶变换 记为 10 复正弦信号 结论 升余弦脉冲信号 其傅里叶变换为 实数 其频谱由三项构成 均为矩形脉冲频谱 只是有两项沿频率轴左 右平移了 利用傅里叶变换定义公式 化简得 求解过程 3 5 3MATLAB仿真实
13、现 MATLAB数学工具箱SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier 和ifourier 1 傅里叶变换调用格式 1 F fourier f 2 F fourier f v 3 F fourier f u v 2 傅里叶逆变换调用格式 1 f ifourier F 2 f ifourier F u 3 f ifourier F v u 在调用fourier 和ifourier 之前 要用syms命令对所用到的变量进行说明 即将这些变量说明成符号变量 对fourier 中的函数f及ifourier 中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符
14、号表达式 若f或F是MATLAB中的通用函数表达式 则不必用syms加以说明 书中例题可上机练习 时间函数频谱某种运算变化变化运算 3 6傅里叶变换的性质 1 傅里叶变换的唯一性 傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系 2 对称性 频域 时域呈现的对应关系 若 则 如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子 1 冲激函数 2 直流函数 例 解 3 线性 叠加性 均匀性 相加信号频谱 各个单独信号的频谱之和 证明 推论 求f t 的傅里叶变换 例 解 整理上式得出 把式 2 3 代入式 1 整理得 性质1实数函数设f t 是t的实函数 则的实部与虚部将分别等于f2 t 0 f t
15、 f1 t 则有 特殊情况讨论 从上式可以得出结论 实信号的频谱具有很重要的特点 正负频率部分的频谱是相互共轭的 特点 性质2虚函数 设f t 是纯虚函数 则 反之也正确 因而是的奇函数 而是的偶函数 性质3实偶函数 实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数 结论 反之 若一实函数f t 的傅里叶积分也是实函数 则f t 必是偶函数 推论 设f t 是t的实偶函数 则 例 解 性质4奇实函数 设f t f t 则 反之 若一实函数f t 付里叶积分是一纯虚函数 则f t 必是奇函数 实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数 结论 推论 同理可以推出 若是虚函数且还是偶函数 则的傅里叶变换为虚偶函数 性质5 性
16、质6 若是虚函数且还是奇函数 则的傅里叶变换为实奇函数 读者可以仿照性质3 性质4给予简单证明 如果将按照奇偶来划分 由此可看出 此时F 是虚函数且是 的奇函数 对于f t 为虚函数的情况 分析方法同上 结论相反 上述讨论的结果如下 5 尺度变换特性 时间波形的扩展和压缩 将影响频谱的波形 对于一个实常数a 其关系为 令x at 则dx adt 代入上式可得 则 证明 时域中的压缩 扩展 等于频域中的扩展 压缩 尺度变换变换后语音信号的变化 一段语音信号 对了 抽样频率 22050Hz f t f t 2 f 2t 例 信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比 结论 上述反比特性的物理意义 6 时移特性 若则 证明 令 则 同理可推得 带有尺度变换的时移特性 单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号 其频谱为 频移特性与时移特性对称 这里 0为实常量 7 频移特性 证明 若 则 同理可得 8 微分特性 1 时域 2 频域 证明 略 9 积分特性 若 1 时域积分 则 2 频域积分 若 则 10 卷积定理 1 时域卷积定理设有两个时间函数f1 t 和f2 t 它们分别对应的频谱函数为F1
