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1、泰勒公式及其在测量平差方程线性化中的应用 泰勒公式及其在测量平差函数模型方程线性化的应用探讨 陈涛1, （1.重庆交通大学土木工程学院13级测绘工程一班，重庆402247；） 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证明了它的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其中之一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，是解决数学问题的一个强有力的工具之一，同时也是解决其它很多学科中计算问题的一个强有力工具。本文对泰勒公式进行了简单的介绍，并重点介绍了它在测量平差线性化中的应用，主要讲解其在条件平差和间接平差中的应用，
2、通过证明推导体现泰勒公式在测量平差应用中的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，线性化，条件平差，间接平差 1、引 言 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1
3、2月29日于伦敦逝世。 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。 共 14 页 由于泰勒公式与微分的联系及其紧密，所以它在求近似值方面的应用非常的广，而微分的思想与测量中的误差概念都是指微小的变化，因此，泰勒公式与测量平差也就自然的联系在了一起，在平差中，泰勒公式最重要的应用要数条件方程式的线性化这一问题了，本文将分别推导说明泰勒公式在测量平差条件平
4、差和间接平差中的应用。 2、泰勒公式及推导 2.1 泰勒公式的形象化解释 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 2.2 一元函数泰勒公式的推导 以上就是一元函数泰勒公式的推导过程。 2.3 多元函数泰勒公式 共 14 页 由以上一元函数泰勒公式的推导过程可得二元函数泰勒公式： 上面式子称为二元函数元函数的泰勒公式。 在点的n阶泰勒公式，由此可导出多 3、泰勒公式在测量平差函数模型方程线性化中的应用 3.1 泰勒公式在条件平差函数模型方程线
5、性化中的应用 3.1.1 大地四边形极条件方程线性化 设AB边为已知边，A,B点为已知点。 以A点为极点列出以下方程: ?sin?a1?b1?ABsinb3ADsinb2AC?,?,? ?ADACAB?sin1sina2sin?b3?a3?D?sinb3sinb2sin?a1?b1?ABADAC?1?将上式相乘得到， ?ADACAB?sina1sin?b3?a3?sina2? ? ai?ai?vai,bi?bi?vbi化简后将其按泰勒公式取一次项展开： 共 14 页 sinb1sinb2sin?a1?b1?cosb1sinb2sin?a1?b1?vb1sinb1cosb2sin?a1?b1?v
6、b2sinb1sinb2cos?a1?b1?va1 ?1? sina1sina2sinb3?a3sina1sina2sina3?b3?sina1sina2sina3?b3?sina1sina2sina3?b3?sinb1sinb2cos?a1?b1?vb1sinb1sinb2sin?a1?b1?va1sinb1sinb2sin?a1?b1?va2 ?(?cosa)?(?cosa2)?1 sina1sina2sina3?b3? sin2a1sina2sin(a3?b3)sina1sin2a2sin(a3?b3)sinb1sinb2sin?a1?b1?va3sinb1sinb2sin?a1?b1?
7、vb3 (?cos(a3?b3）?(?cos?a3?b3?2 ?sinasinasin(a?b)?1233 sina1sina2sin2(a3?b3) 将上式化简可以得到： va2sina2sin(a3?b3)sina1sina2sin(a3?b3)sina1 ?1?cota2 sin(a1?b1)sinb2sinb3sin(a1?b1)sinb2sinb3? va3vb3va1sina2sin(a3?b3)sina1sina2sin(a3?b3)sina1?cot(a3?b3?)?cota1 sin(a1?b1)sinb2sinb3?sin(a1?b1)sinb2sinb3? va1vb1v
8、b2 sina2sin(a3?b3)sina1sina2sin(a3?b3）sina3 ?cot(a1?b1)(?)?cotb2 2 sin(a1?b1)sinb2sinb3?sin（a1?b1)sinb2sinb3vb3sina2sin(a3?b3)sina1?cotb3?02sin(a1?b1)sinb2sinb3? sin(a1?b1)sinb2sinb3 得到: sina1sina2sin(a3?b3 将上式同乘以 ? sin(a1?b1)sinb2sinb3 ?cota2va2?cot(a3?b3)(va3?vb3)?cota1va1 sina1sina2sin(a3?b3 ?cot
9、(a1?b1)(va1?vb1)?cotb2vb2?cotb3vb3?0 整理得： (1? sin(a1?b1)sinb2sinb3 ?cota1?cot(a1?b1)va1?cota2va2 sina1sina2sin(a3?b3) ?cot(a3?b3)va3?cot(a1?b1)vb1?cotb2vb2?cot(a3?b3)?cotb3vb3?0 3.1.2 中点多边形极条件方程线性化 ? ? ? 根据右方图形可列得极件: sina1sina2sina3sinb1sinb2sinb3 共 14 页 ? ? ? ?1， 其中ai ? ?ai?vai，bi?bi?vbi，ci?ci?vci
10、? 将其代入原函数式中可得 sin(a1?va1)sin(a2?va2)sin(a3?va3)sin(b1?vb1)sin(b2?vb2)sin(b3?vb3) ?1 将上式按泰勒级数在点a1，a2，a3，b1，b2，b3处展开得： sina1sina2sina3cosa1sina2sina3va1sina1 ?1? sinb1sinb2sinb3sinb1sinb2sinb3?sina1 sina1cosa2sina3va2sina2sina1sina2cosa3va3sina3? sinb1sinb2sinb3?sina2sinb1sinb2sinb3?sina3 vb1sinb1sina
11、1sina2sina3vb2sinb2 sina1sina2sina3 ?2cosb1?cosb2 2 ?sinb1sinb1sinb2sinb3?sinb2sinb1sinb2sinb3vb3sinb3sina1sina2sina3 ?cosb3 2 ?sinb3sinb1sinb2sinb3 （式中v是改正角度值，需转化为弧度值才能进行计算，故除以?， ?206265） 化简后 sina1sina2sina3sina1sina2sina3va1sina1sina2sina3va2 ?1?cota1?cota2 sinb1sinb2sinb3sinb1sinb2sinb3?sinb1sinb
12、2sinb3?sina1sina2sina3va3sina1sina2sina3vb1?cota3?cotb1sinb1sinb2sinb3?sinb1sinb2sinb3?sina1sina2sina3vb2sina1sina2sina3vb3?cotb2?cotb3sinb1sinb2sinb3?sinb1sinb2sinb3? sinb1sinb2sinb3 ?后化简得： sina1sina2sina3 共 14 页 上式乘以 va3va1va2vb1vb2sinb1sinb2sinb3 (1?)?cota1?cota2?cota3?cotb1?cotb2 sina1sina2sina3
13、?cotb3 vb3 ? ?0 ?sinb1sinb2sinb3?此处可根据闭合差方程A?0可以得到，?1-sinasinasina? 123?3.1.3 坐标条件方程线性化 在同一直线上，?0?180o或0o。故有条件方程 ? ? ,Yh) ?jk?jh?0 或 j (Xj,(Xk,Yk) ?Y X kk ?vyk?Yj?vyj?vxk j ?X?(Y?v(X xj hh ?vyh)?(Yj?vyj)?vyh)?(Xj?vxj) ?0?0 式中左端第一项为 ?jk ? ?Y ?X kk ?vyk?Yj?vyj?vxk j ?X? ?vxj 将上式按泰勒公式展开，得 ?jk ? Xk?Xj?X j? Yk?Yj ?jk v?x?j?Yj?0? ? ?jk v?y?j?Xk?0? ? ?jkv?x?k?Yk?0? ?jk ? ? ? vyk ?0
