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1、初中数学平行四边形一、【知识点汇总】1平行四边形的判定和性质：性质判定平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补；平行四边形对角线互相平分 行四边形的面积 行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形注意：1平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。2矩形的判定和性质判定性质有一个角是直角的平行四
2、边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形矩形具备平行四边形的性质矩形四个角都是直角矩形两条对角线相等矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴矩形面积Sab(a、b分别表示矩形的长和宽)3菱形的判定和性质判定性质一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形具备平行四边形的性质菱形四边都相等菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴菱形面积分别表示菱形两对角线的长）4正方形的判定和性质判定性质有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形一组邻边相等的矩形是
3、正方形 个角是直角的菱形是正方形 角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 方形具备平行四边形性质正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴面积Sa2 （a表示正方形的边长）5梯形的判定和性质类别判定性质梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形梯形一组对边平行而另一组对边不平行梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半 是梯形的上下底，h是高，m是中位线）等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上两角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形等腰梯形具有
4、一般梯形的性质等腰梯形两腰相等等腰梯形同一底上两角相等 腰梯形对角线相等 腰梯形是轴对称图形直角梯形有一个角是直角的梯形是直角梯形 角梯形具有一般梯形的性质直角梯形的一腰垂直于底边6梯形中的常用辅助线：7.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰8三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半初二考法平行四边形【题型一】边长，面积，周长PABCDEFQ第1题图1、如图，、分
5、别是 的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若APD ，BQC ，则阴影部分的面积为 。 答案：40ACDBEO第2题图2、如图，平行四边形ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，ABD的周长为16cm，则DOE的周长是 cm答案8第3题图ABCDO3如图，已知ABCD的对角线BD=4cm，将ABCD绕其对称中心O旋转180，则点D所转过的路径长为 . 答案：2 cm 【题型二】证明三角形全等，证明平行四边形，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1如图，点E、F、G分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC，B=
6、D又E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点HD=BF，BE=CGBEFD2已知，如图，、相交于点，=，、分别是、中点。求证：四边形是平行四边形。答案：ACBD C=D CAO=DBO AO=BO AOCBOD CO=DO E、F分别是OC、OD的中点 OF=OD=OC=OE 。由AO=BO、EO=FO 四边表AFBE是平等四边形。 矩形【题型一】边长，面积，周长1、如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_ABCD第5题图【答案】28 2、在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长解：,由勾股定理可得根据题意有，设，由勾股定理，即解
7、得，（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）3、如图，四边形ABCD中，对角线ACBD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是_答案:中位线定理,12【题型二】证明三角形全等，证明矩形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1如图，点E、F、G分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC，B=D又E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点HD=BF，BE=CGBEFD14、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+
8、PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论答：对图（2）的探究结论为_对图（3）的探究结论为_；答案：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MNAD于点M，交BC于点N，因为ADBC，MNAD，所以MNBC在RtAMP中，PA2=PM2+MA2在RtBNP中，PB2=PN2+BN2在RtDMP中，PD2=DM2+PM2在RtCNP中，PC2=PN2+NC2 所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2
9、 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2因为MNAD，MNNC，DCBC，所以四边形MNCD是矩形 所以MD=NC，同理AM = BN，所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即PA2+PC2=PB2+PD23.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，交于，交延长线于，垂足为，试证明：证明：四边形为平行四边形，平分，（），如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，垂足分别为，求证：与互相平分证明：连接，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与互相平分 菱形题型一【边长，边长上的高，面积，周长，坐标】1、如图，两条笔直
10、的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 AB、D，已知ABBCCDDA5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是A3公里B4公里 C5公里D6公里【答案】B2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH 【答案】：3菱形中，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长解：若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又设，由勾股定理可得，解得，综上所述：菱形的边长为或【题型二】证明三角形全等，证明菱形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置
11、关系1、如图所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，求证：ADEF【对角线互相平分】 证明：DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形又1=2，而2=3，1=3，AE=DEAEDF为菱形ADEF2、如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF 求证：ACEACF（对角线平分对角）图4ABCDEF【答案】四边形ABCD为菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）3.如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；【重点；三种判定】在（2）的条件下，若，求
12、的值.（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为DE/AB,AE/BC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE/BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2： 又 (2)解法1：证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法2证明： 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法3证明： 四边形是平行四边形 又四边形是菱形正方形题型一【边长，面积，周长】5、如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4【答案】C6、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是
