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1、冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃专题30 圆锥曲线中的范围、最值问题一、选择题1（椭圆与向量数量积）已知为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为 （ ）ABCD【答案】C【解析】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有.设，则.由，得.故选C.2（椭圆与圆交汇）过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（ ）ABC1D【答案】B【解析】点在椭圆上，设，过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为又圆的方程为-得，直线AB的方程为：过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，P，Q，POQ面
2、积，-1sin21，当sin2=1时，POQ面积取最小值3（双曲线与向量）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ ）A4B8CD【答案】A【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则，故选：A4（抛物线与余弦定理）抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为AB1CD2【答案】B【解析】设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|在梯
3、形ABPQ中，2|CD|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（ ） 2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）|CD|1，即的最小值为1故选B5（椭圆求参数范围）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB=120，则m的取值范围是ABCD【答案】A【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A二、填空题6（抛物线与圆交汇）已知，若点是抛物线上的任意一点，点是圆上任
4、意一点，则最小值是_【答案】【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为又点是抛物线上一点，点是圆上任意一点，令，点的坐标为，则，当且仅当，即时等号成立的最小值为故答案为7（直线与抛物线求参数范围）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题得在直线上，设点， ，；又， ，即；，即，解得，或，又，的取值范围是，故答案为，三、解答题8（直线与椭圆求最值）已知椭圆：的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，
5、与直线相交于点，求的最小值.【答案】见解析.【解析】（1）由已知，有，即.，.设点的纵坐标为.则 ，即.，.椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.设，.联立，消去，得.此时.，.由弦长公式，得 .整理，得.又， . . ，当且仅当，即时等号成立.当，即直线的斜率为时，取得最小值.9（直线与椭圆求面积最值）已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.求的方程；直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)2【解析】依题意可知解得则，故的方程为.延长交于点，由可知，设，设的方程为，由得，故设与的距离为，则四
6、边形的面积为S， 当且仅当，即时，等号成立，故四边形面积的最大值为.10（抛物线与圆求范围）已知直线上有一动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知定点，为曲线上一点，直线交曲线于另一点，且点在线段上，直线交曲线于另一点，求的内切圆半径的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点，则，所以，.因为，所以，即.（2）设，直线与轴交点为，直线与内切圆的切点为.设直线的方程为，则联立方程组得，所以且，所以，所以直线的方程为，与方程联立得，化简得，解得或.因为，所以轴，设的内切圆圆心为，则点在轴上且.，且的周长，令，则，所以在区间上单调递增，则，即的取值范围为. 10 / 10
