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1、课时1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1求函数f(x)的单调区间解函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x).当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)令y0，得00)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f
2、(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a.(2)由(1)知f(x)a1a.当a1时，f(x)0恒成立，a1，)时，函数yf(x)在R上单调递减当0a0得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln ，由f(x)0得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln .a(0,1)时，函数yf(x)在(ln ，)上单调递增，在(，ln )上单调递减综上，当a1时，f(x)在R上单调递减；当0a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上
3、单调递减，在( ，)上单调递增题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2a
4、x20成立，即x(2，1)时，a0时恒成立即aln x0，在x0时恒成立所以aln x，在x0时恒成立令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即aln x0，在x0时恒成立，所以aln x，在x0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，15分类讨论思想研究函数的单调性典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性思维点拨依据g(x)的切线条件可得g(1)0得a，b关系，代g
5、(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g(x)的符号规范解答解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.2分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1.4分(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1，6分当a0时，令g(x)0，得x1或x，7分若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，11分若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.12分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上
6、单调递减；当0a时，函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增14分温馨提醒(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题求解先分a0或a0两种情况，再比较和1的大小方法与技巧1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_答案(，解析f
7、(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.3设函数f(x)x2sin x是区间上的减函数，则实数t的取值范围是_答案，kZ解析由题意得f(x)12cos x0，即cos x，解得2kx2k (kZ)，f(x)x2sin x是区间上的减函数，2kt2k (kZ)4定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即所以5函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设
