《2014年高三数学一轮复习课件--数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年高三数学一轮复习课件--数列（216页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列第一节数列的概念与简单表示法第二节等差数列及其前n项和第三节等比数列及其前n项和第四节数列求和第五节数列的综合应用 目录 数列 知识能否忆起 1 数列的定义 分类与通项公式 1 数列的定义 数列 按照排列的一列数 数列的项 数列中的 一定顺序 每一个数 2 数列的分类 有限 无限 3 数列的通项公式 如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2 数列的递推公式如果已知数列 an 的首项 或前几项 且与它的 n 2 或前几项 间的关系可用一个公式来表示 那么这个公式叫数列的递推公式 任一项an 序号n 前一项an 1 答案 B 小题能否全取
2、 2 设数列 an 的前n项和Sn n2 则a8的值为 A 15B 16C 49D 64解析 a8 S8 S7 64 49 15 答案 A 答案 A A 递增数列B 递减数列C 常数列D 摆动数列 解析 a4 a3 2 33 2 3 5 54 答案 54 1 对数列概念的理解 1 数列是按一定 顺序 排列的一列数 一个数列不仅与构成它的 数 有关 而且还与这些 数 的排列顺序有关 这有别于集合中元素的无序性 因此 若组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的两个数列 2 数列中的数可以重复出现 而集合中的元素不能重复出现 这也是数列与数集的区别 2 数列的函数特征数列是一个定义域为
3、正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应的函数解析式 即f n an n N 答案 C 1 根据数列的前几项求它的一个通项公式 要注意观察每一项的特点 观察出项与n之间的关系 规律 可使用添项 通分 分割等办法 转化为一些常见数列的通项公式来求 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由an与Sn的关系求通项an 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n 1 已知数列 an 的前n项和Sn 求数列的通项公式 其求解过程分为三步 1 先利用a1 S1求出a1
4、 2 用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系 利用an Sn Sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 对n 1时的结果进行检验 看是否符合n 2时an的表达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 答案 D 例3 已知数列 an 的通项公式为an n2 21n 20 1 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 2 n为何值时 该数列的前n项和最小 数列的性质 1 数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系 构造相应的函数an f n 利用求解函数最值的方法求解 但要注意自变量的取值 2 前n项和最值的求法 1 先求出数列的前n项和
5、Sn 根据Sn的表达式求解最值 2 根据数列的通项公式 若am 0 且am 10 则Sm最小 这样便可直接利用各项的符号确定最值 答案 C 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法 它们都可以确定数列中的任意一项 只是由递推公式确定数列中的项时 不如通项公式直接 下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法 1 累加法 典例1 2011 四川高考 数列 an 的首项为3 bn 为等差数列且bn an 1 an n N 若b3 2 b10 12 则a8 A 0B 3C 8D 11 解析 由已知得bn 2n 8 an 1 an 2n 8 所以a2 a1 6 a3 a2 4 a8 a7 6 由累加法得a8
6、a1 6 4 2 0 2 4 6 0 所以a8 a1 3 答案 B 1 求a2 a3 2 求 an 的通项公式 2 累乘法 3 构造新数列 典例3 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 2 则an 答案 2 3n 1 1 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 C 答案 B 答案 C 知识能否忆起 第2项 差 an 1 an d 一 等差数列的有关概念 等差中项 a1 n 1 d 二 等差数列的有关公式 三 等差数列的性质1 若m n p q N 且m n p q an 为等差数列 则am an ap aq 2 在等差数列 an 中 ak a2k a3k a4k 仍为等差数列 公差为k
7、d 3 若 an 为等差数列 则Sn S2n Sn S3n S2n 仍为等差数列 公差为n2d 4 等差数列的增减性 d 0时为递增数列 且当a10时前n项和Sn有最大值 小题能否全取 1 2013 福建高考 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 答案 B 答案 D 答案 B A 58B 88C 143D 176 答案 2n 1 1 与前n项和有关的三类问题 1 知三求二 已知a1 d n an Sn中的任意三个 即可求得其余两个 这体现了方程思想 3 利用二次函数的图象确定Sn的最值时 最高点的纵坐标不一定是最大值 最低点的纵坐标不一定是最小值 2 设元与解
8、题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题 要善于设元 若奇数个数成等差数列且和为定值时 可设为 a 2d a d a a d a 2d 若偶数个数成等差数列且和为定值时 可设为 a 3d a d a d a 3d 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 例1 在数列 an 中 a1 3 an 2an 1 2n 3 n 2 且n N 1 求a2 a3的值 等差数列的判断与证明 自主解答 1 a1 3 an 2an 1 2n 3 n 2 且n N a2 2a1 22 3 1 a3 2a2 23 3 13 1 证明 an 为等差数列的方法 1 用定义证明 an an 1 d d为常数 n 2
9、 an 为等差数列 2 用等差中项证明 2an 1 an an 2 an 为等差数列 3 通项法 an为n的一次函数 an 为等差数列 2 用定义证明等差数列时 常采用的两个式子an 1 an d和an an 1 d 但它们的意义不同 后者必须加上 n 2 否则n 1时 a0无定义 1 已知数列 an 的前n项和Sn是n的二次函数 且a1 2 a2 2 S3 6 1 求Sn 2 证明 数列 an 是等差数列 解 1 设Sn An2 Bn C A 0 例2 2012 重庆高考 已知 an 为等差数列 且a1 a3 8 a2 a4 12 1 求 an 的通项公式 2 记 an 的前n项和为Sn 若
10、a1 ak Sk 2成等比数列 求正整数k的值 等差数列的基本运算 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 答案 1 44 2 6 答案 1 B 2 A 1 等差数列的性质是等差数列的定义 通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效 方便 快捷地解决许多等差数列问题 2 应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系 A 6B 7C 8D 9 2 2013 海淀期末 若数列 an 满足 a1 19 an 1 an 3 n N 则数列 an 的前n项和数值最大时
11、n的值为 题型技法点拨 快得分 系列之 六 特值法解等差数列问题 答案 n 2 特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到 就是通过取一些特殊值 特殊点 特殊函数 特殊数列 特殊图形等来求解或否定问题的目的 用特殊值法解题时要注意 所选取的特例一定要简单 且符合题设条件 答案 C 解析 法一 a2 a1 1 a1 a1 4 a1 2 a9 a8 1 a8 a1 2a4 a1 4a2 a1 18 法二 a2 a1 1 a1 a1 4 a1 2 令p n q 1 所以an 1 an a1 即an 1 an 2 an 是等差数列 且首项为2 公差为2 故a9 2 9 1 2 18 答案 B 法二 令n
12、 1 只有B项符合 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 2 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足 a2 a4 14 S7 70 1 求数列 an 的通项公式 所以an 3n 2 2 在 1 的条件下是否存在常数 使 Cn 1 Cn 是等差数列 如果存在 求出满足条件的 如果不存在 请说明理由 知识能否忆起 2 同一个常数 公比 1 等比数列的有关概念 1 定义 G a1qn 1 2 等比数列的有关公式 1 通项公式 an 2 等比中项 3 等比数列 an 的常用性质 1 在等比数列 an 中 若m n p
13、q 2r m n p q r N 则am an ap aq a 特别地 a1an a2an 1 a3an 2 2 在公比为q的等比数列 an 中 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 公比为 数列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是等比数列 此时q 1 an amqn m qk 小题能否全取 1 教材习题改编 等比数列 an 中 a4 4 则a2 a6等于 答案 C 答案 C 答案 A A 64B 81C 128D 243 1 等比数列的特征 1 从等比数列的定义看 等比数列的任意项都是非零的 公比q也是非零常数 2 由an 1 qan q 0并不能立即断言 an 为等
14、比数列 还要验证a1 0 2 等比数列的前n项和Sn 1 等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的 注意这种思想方法在数列求和中的运用 2 在运用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1与q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情形导致解题失误 例1 已知数列 an 的前n项和为Sn 且an Sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 等比数列的判定与证明 等比数列的判定方法 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 例2 2011 全国高考 设等比数列 an 的前n项和为Sn 已知a2 6 6a1 a3 30
15、求an和Sn 等比数列的基本运算 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 2 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 2 2013 山西适应性训练 已知数列 an 是公差不为零的等差数列 a1 2 且a2 a4 a8成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 3an 的前n项和 等比数列的性质 例3 1 2012 威海模拟 在由正数组成的等比数列 an 中 若a3a4a5 3 则sin log3a1 log3a2 log3a7
16、 的值为 2 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S6 S3 1 2 则S9 S3等于 A 1 2B 2 3C 3 4D 1 3 答案 1 B 2 C 等比数列与等差数列在定义上只有 一字之差 它们的通项公式和性质有许多相似之处 其中等差数列中的 和 倍数 可以与等比数列中的 积 幂 相类比 关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握 同时也有利于类比思想的推广 对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算 若能关注通项公式an f n 的下标n的大小关系 可简化题目的运算 3 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7B 5C 5D 7 答案 1 D 2 C 典例 设等比数列 an 的公比为q 前n项和Sn 0 n 1 2 3 则q的取值范围为 答案 1 0 0 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 2012 大纲全国卷 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn 答案 B 2 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S1 S3 S2成等差数列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求Sn 3 已
