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1、摘 要数字信号处理(DSP)重要的应用领域之一，是建立在周期信号和随机信号基础上的功率谱估计。在实际应用中往往不能获得具体信号的表达式,需要根据有限的数据样本来获得较好的谱估计效果，因而谱估计被广泛的应用于各种信号处理中1。本论文研究了功率谱估计的几种常用的方法，包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法，且对每种方法的估计质量做了数学推导，并给出仿真程序及仿真图。经典法主要包括周期图法、自相关法，但这两种方法都存在缺陷，即认为观测数据之外的数据都为零，所以对经典法中的周期图法进行了加窗、平均等修正，因此提出了周期图法的改进方法；现代谱估计的方法分类比较多，AR模型法,MA模型法和ARMA模型法是现
2、代功率谱估计中最主要的参数模型，本论文着重讨论了AR模型参数法2。同时论文将通过对经典谱估计和现代谱估计的实现方法及仿真图的比较，得出经典功率谱估计方法的方差性较差，分辨率较低，而现代谱估计的目标正是在于努力改善谱估计的分辨率，因此能得到较好的谱估计效果，为此应用更为广泛3。关键字：数字信号处理，功率谱估计，周期图法，自相关法，AR模型法 ABSTRACTDigital signal processing (DSP) important application of one of the field. Actually, we cant get the expression of a spec
3、ific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data sequences.So spectrum estimation which is widely used in various signal processing. In this thesis, some common methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation and modern spec
4、tral estimation, are studied. The quality of each estimation method is derived, simulation program and simulation figure is given. Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include the Periodogram and the BT method. But both of them have a common drawback: the data sequences, beyond the
5、area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve the quality of the Periodogram. Therefore the improvement of The Periodogram estimation method is proposed. The classification of modern spectral estimation methods are more , AR
6、，MA, and ARMA is the most important parameters of modern spectral estimation. This thesis will focus on discussion of AR model parameters method. At the same time , It can be seen from the comparison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation, classical power spe
7、ctrum estimation variance is poor, low resolution .The goal of modern spectral estimation is working to improve the resolution of spectral estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely. Keywords: digital signal processing, Power Spec
8、trum Estimation, The Periodogram, the BT methods，AR model41目 录摘 要IABSTRACTII1 绪论1.1功率谱估计的发展11.2功率谱估计的方法11.3功率谱估计的提出21.4经典谱估计21.5现代谱估计31.6功率谱估计应用及用途32 谱估计中的变量2.1随机信号简介52.2平稳随机信号72.3估计质量的评价标准103 经典功率谱估计3.1谱估计与相关函数123.2 周期图法153.3 自相关法183.4 直接法和间接法的关系183.5谱估计仿真与比较183.6 本章小结254 现代谱估计4.1平稳随机信号的参数模型274.2 A
9、R模型的正则方程与参数计算284.3 AR模型谱估计的实现及性质314.4 MA模型谱估计334.5 ARMA模型谱估计354.6 小结364 论文总结37参考文献38致 谢401 绪论1.1功率谱估计的发展功率谱估计技术渊源流长，在过去的几十年获得了飞速的发展。功率谱估计涉及信号与系统、随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等一系列的基础科学，广泛应用于雷达、声纳、通信、地址勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其内容、方法不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域4。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱, 它对于认识一个随机信号或其它应用方面来讲都是极其重要的, 是数字信
10、号处理的重要研究内容之一，在军事、生物医学、通信等领域得到了较为广泛的应用5。“谱”最早是由英国科学家牛顿提出来的，后来法国工程师傅里叶提出了著名的傅里叶谐波分析理论，该理论至今仍然是我们进行信号分析和处理的理论基础。傅里叶级数首先在观察自然界中的周期现象得到应用，但傅里叶的计算比较复杂，促使人们研制相应的机器来计算傅里叶级数。在19世纪末，Schuster提出傅里叶系数的平方，并命名为周期图，这是经典谱估计的最早提出法，至今仍被人们沿用6。后来，鉴于周期图的起伏剧烈，提出了平均周期图的概念，并提出了在对有限长数据计算傅里叶系数时所存在的边瓣问题，这就是后来我们所熟悉的窗函数的影响。周期图较差
11、的方差性能促使人们研究另外的分析方法。Yule在1927年提出了用线性回归方程来模拟一个时间序列，从而发现隐含在该时间序列中的周期,从而发现了现代谱估计中最重要的方法参数模型法。Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，并得出了在对最小二乘分析中经常应用的Yule-Walker方程。7Yule的工作使人们重新想起了早在1795年Prony提出的指数拟合法，从而Prony方法形成了现代谱估计的又一重要内容。之后又陆续提出了Wiener-khintchine定理、谱估计自相关法BT法等。所有这些都为现代谱估计的发展打下了良好的基础7。1.2功率谱估计的方法功率谱估计可以分为经典谱估
12、计(非参数估计) 和现代谱估计(参数估计)。经典谱估计的方法主要方法有自相关估计法和周期图法以及对周期图的改进方法; 现代谱估计的内容极其丰富，涉及的学科及应用领域也相当广泛，方法大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR 模型法(最大熵谱分析法)、MA模型，ARMA模型、Prony 指数模型等；后者有最小方差法，多分量的MUSIC方法等8。其中周期图法和AR 模型法是用得较多且最具代表性的方法。从信号的来源分，又可分为一维谱估计、二维谱估计及多维谱估计。从使用的统计量来分，目前大部分工作是建立在二阶矩基础上的，但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶矩基础上
13、的谱估计方法正引起人们的注意。从信号的特征来分，在这之前所说的方法都是对平稳随机信号而言，其谱分量不随时间变化，对非平稳随机信号，其谱是时变的，近20年来，以wigner分析为代表的时域分析引起了人们的广泛兴趣，形成了现代谱估计的一个新的研究领域。1.3功率谱估计的提出在通信系统中，往往需要研究具有统计特性的随机信号。由于随机信号是一持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱9。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。如果随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它
14、的功率谱密度函数，简称功率谱。功率谱反应了单位频带内随机信号的一个样本信号来对该随机过程的功率谱密度函数做出估计。1.4经典谱估计直接法：又称周期图法，它是把随机序列的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算的离散傅立叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列真实功率谱的估计。周期图这一概念早在1989年就提出了，但由于点数N一般比较大，该方法的计算量过大在当时无法使用，在1965年FFT出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法包含了下列二条假设：认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本中的一段来估计该随机序列的功率谱,这当然必带来误差。由于对有限序列采用DFT
15、，就默认此有限序列时域是周期的，以及该有限序列在频域是周期的。这种方法把随机序列样本看成是截得一段的有限序列的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。间接法：也叫相关法。间接法先由序列估计出自相关函数，然后对进行傅立叶变换，便得到的功率谱估计。周期图法与相关法相比，相关法在求相关函数时将有限长序列以外的数据看做是零，因此相关法认为除有限长序列外是全零序列，这种处理方法显然和周期法不一样。但是，当相关法被引入基于FFT的快速变换后，相关法和周期图法开始融合。改进的周期图法：对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。其又有以下几种方法：1.Bartlett法Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列分段求周期图再平均。2. Welch法Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正:一是选择适当的窗函数，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。不同窗函数的welch谱估计在选择窗函数时，一般有如下要求：1) 窗口宽度M要远小于样本序列长度N，以排除不可靠的自相关值；2) 当平稳信号为实过程时，为保证平滑周期图
