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1、拉萨中学高三年级（2020届）第六次月考理科数学试卷一、单选题：（本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若复数，则在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：由题根据所给复数化简，然后根据复数的几何意义判定即可；，所以对应复平面上的点在第一象限故选A考点：复数的运算、复数的几何意义2.已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求解出集合和集合，然后根据交集定义求解.【详解】 ，又 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.某次知识竞赛
2、中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小组积分的方差为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算出每队得分情况，然后计算出方差.【详解】依题意，得分情况如下：，平均数为，故方差为，故选C.【点睛】本小题主要考查方差的计算，考查实际应用问题，考查运算求解能力，所以基础题.4.已知双曲线的左焦点在圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出双曲线焦点坐标，代入圆的方程，求出，从而得到的值，求得离心率.【详解】由双曲线方程知：， ，本
3、题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的简单性质，关键是利用的关系，求出焦点坐标，属于基础题.5.已知是的重心，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可【详解】如图所示，P是ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是：P故选：B【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利
4、地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.6.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子”根据这个问题，有下列个说法：得到橘子最多的人所得的橘子个数是；得到橘子最少的人所得的橘子个数是；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是其中说法正确的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：，其和为6
5、0，故a=6，由此可知得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C7.函数的图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先通过特殊值排除，再根据零点存在定理，可知在时存在零点，排除，可得结果.【详解】当时， 选项可排除当时， 可知，故在上存在零点，选项可排除本题正确选项：【点睛】本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的方式排除错误选项，得到最终结果.8.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助
6、角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.【详解】依题意，,，故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，在解题过程中，要注意的是出现相应的形式，要会变，没有相应的形式，也可以转变，如可转化为.余弦的二倍角公式公式有三个，要利用上合适的那个.9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上
7、半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10.已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理可通过边角关系式求得；再利用同角三角函数关系求得；再次利用正弦定理求得.【详解】由正弦定理可知：即 即 在中，即解得：本题正确选项：【点睛】本题主要考察正弦定理解三角形和边角关系式的化简，关键是将边角关系式中的边化成角的关系，从而能够得到所需的三角函数值.11.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点
8、，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】假设直线方程，与抛物线联立后，利用韦达定理求解出和；再利用在圆上得到与垂直，构造方程解出，从而求解出圆心和半径，得到圆的方程.【详解】由抛物线方程可知：，准线方程为：设直线方程为：，代入抛物线方程得：设，则，又，在圆上 即 即 圆心坐标为：，即；半径为：圆的方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、圆的方程的求解，关键在于能够利用直线与抛物线的关系得到圆心坐标，再利用圆的性质求解出参数，从而顺利求解出方程.12.若函数的图象上存在两个点关于原点对称
9、，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过友情点对的定义，可知在上有两个不同解；将问题变成与在上有两个交点的问题，通过导数得到函数的图像，通过图像可知当等于极小值时，与在上有两个交点，从而求得结果.【详解】设，其中 点关于原点对称的点为因为函数有两个友情点对在上有两个不同解即在上有两个不同解即与在上有两个不同交点令，解得：，可知：在，上单调递增；在上单调递减极小值为：；极大值为且时， 本题正确选项：【点睛】本题考查新定义问题、导数中的交点类问题即方程根的个数问题，解题关键是能
10、够明确新定义所代表的含义，将问题转换为交点个数问题；处理交点个数问题的主要方法是利用函数图像来解决.二、填空题:（本题共4小题.)13.已知向量,满足，则_【答案】【解析】由题意得，因为，则 14.若 的展开式中只有第项的系数最大，则该展开式中的常数项为_【答案】210【解析】由于只有第6项的系数最大，所以n=10,所以展开式的通项公式为，则当r=6时，展式式中为常数项，所以常数项为210.15.若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】直线恒过，通过图像可寻找到临界直线，再通过斜率关系，可知时平面区域为梯形，从而得的范围.【详解】由确定的区域为正方形区域又恒过，通过
11、图像可知临界状态如下图：当过点时，当时，即如虚线位置时，平面区域为梯形本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的参数范围问题，关键在于能够通过图像关系找到临界位置，属于基础题.16.在三棱锥中，侧面为正三角形，且顶点在底面上的射影落在的重心上，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据球的性质，可知球心必在过外接圆圆心且与平面垂直的直线上，设球心为，作，可知四边形为矩形；利用三角形关系求解出各边长后，利用构造方程，求解出，从而可求得球的半径，最终求出球的表面积.【详解】三棱锥如下图所示：为重心，则平面，为中点 为外接圆圆心作平面，设为三棱锥外接球球心，则作，垂足为平面 四边形
12、为矩形且，又为等腰直角三角形 又为等边三角形 ，设，即 三棱锥外接球表面积为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何体外接球的表面积问题，关键在于能够确定球心的位置，需要明确球心必在过某一侧面外接圆圆心，且与该侧面垂直的直线上，然后通过勾股定理构造出关于半径的方程，从而求解得到结果.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图在中，的平分线交于点，设，其中是直线的倾斜角（1）求的大小；（2）若，求的最小值及取得最小值时的x的值【答案】（1） ；（2）当x=0或x=时，f（x）取得最小值=0.【解析】【分析】由题可知，得到，又因为，可得，即可求解由可以化简，进而得到在上单调递增
13、，在上单调递减，即可求出结果【详解】(1)由题可知，所以， 又所以 (2)由（1）可知 因为，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，且 所以当或时，取得最小值为0.【点睛】本题是三角函数问题中的典型题目，解答本题的关键在于能利用三角公式化简函数解析式，进一步讨论函数的性质，本题的易错点在于忽视设定角的范围，难度不大，考查了学生的基本运算求解能力以及复杂式子的变形能力。18.如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，平面平面，平面.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点,可证得四点共面，再证平面，从而证得结论；（2）
14、建立空间直角坐标系，求解出平面的法向量，则通过线面角的向量求法求得结果.【详解】（1）证明：取的中点,连接是等边三角形 是等腰直角三角形且 平面平面，平面平面，平面平面平面 四点共面, 平面平面 （2）作,垂足为,则是等边三角形， 在中,.是等腰直角三角形， 如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为由, 得令,得是平面的一个法向量设直线与平面所成角为则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查空间中的垂直关系证明、空间向量法解决直线与平面所成角问题.证明空间中的线线垂直，通常采用先证明线面垂直的方式，利用性质得到线线垂直.19.某小组同学为了研究昼夜温差对反季节大豆发芽的影响，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，
