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1、北京大学量子信息物理原理课程讲稿（III）1.4, 广义测量与POVM1，开放系统的广义测量通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来，构成足够大系统的办法，总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立体系。人们知道，或者准确些说是相信，孤立系量子测量必定是正交投影测量。因此可以说，对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量，必定是正交投影测量。就是说，测量所得的必定是这个完备组共同本征态的量子数，测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交共同本征态的投影。以前的量子力学都是针对封闭系统的。现在研究开放系统也就是子系统的量子力学。注意，大系统的一组相互正交的本征态族在子系
2、统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交！于是可以设想，不知道（根本不知道、不想知道、难以知道）大系统、只知道子系统（！）的观察者会认为：通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态，而不是一组正交态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故。广义测量是指，在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时，在局部的子系统上所实现的局限性测量，称为广义测量，又称为局域测量。从大系统的角度来看，现在的子系统是个开放系统，对其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量。总括起来，开放系统的量子力学，包括开放系统的量子测量，出现三个新特点： a）量子态可能是混的；
3、b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的； c）量子测量可能是非正交投影分解POVM。POVM直译是“正算符取值测度”，是个重要概念。将它表示出来为 (1.11)POVM是以前针对封闭系统的von Neumann正交投影向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。简明地说，在大系统上进行正交测量时，在子系统中所观察到的非正交投影就是一组POVM，在子系统中实现的测量称为广义测量。其实，按POVM 的含意，全称应当是“单位算符的非正交测度分解”。下面会举例详细说明。2，局域测量POVMi, 直和解释：空间正交测量在子空间中表现假设所关心的态空间是一个更大的直和空间 (1.12)的一部分（设的基是
4、，的基是）。有正交基。设是中的一个可观察量，于是有以下正交分解关系 （1.13） (1.14)这里。注意，不同值的虽然彼此正交，但它们在子空间中投影部分，也即从子空间中看，这些态不一定正交归一。将态归一化记为。按，设， (1.15)注意，同时有。现在假设，在大空间中对子空间中的一个态执行向基矢的正交投影测量。这些测量，从“生活”在中的观察者来看，只得到以概率（注意不属于，其作用为零） （1.16a）获得测量结果和态。特别是，在测出值以后，塌缩投影过去的这些测量末态不见得彼此正交！设是子空间的单位算符，它也是大空间向子空间的投影算符。利用它可将中的正交投影算符系列向投影。即，定义中的一组算符 (
5、1.17)利用定义（1.17）式，可以把（1.16a）式，即从中观察所得结果为的概率重新表达为 (1.16b)这些显然是厄密的、非负的，但迹却不一定为1（），而且也不一定彼此正交，所以不能算是正交投影算符系列。然而，它们总和等于子空间中的单位算符 (1.18)因此，这些在子空间中执行着类似于在空间中的投影分解任务，但它们却不是正交投影。于是推广开来看，可以引入如下定义：定义 系统A的一个POVM（positive operator valued mesure2、3、8p.90、13 p.287）是一组不一定彼此正交，但总和等于系统单位算符的非负、厄密算符序列， （1.19）换句话说，POVM是
6、将系统的单位算符用一组不一定彼此正交的正值算符序列进行分解，简单地说，系统单位算符的一种非正交测度分解。这里态是系统A的任意态。根据这里的广义测量理论，当对中态作广义测量时，相应每个测量结果的概率由(1.16a、b)式表示。特别是，有为保证概率正定和总概率为1，的正定性和都是必需的。由于任何投影算符的平方等与它自己，所以开根也是它自己。而这里正属于投影算符，于是在广义测量前后，态的改变是 (1.20)（1.20）式是正交投影情况（）向POVM情况的推广。注意，由于“是大空间的向子空间的投影”，所以有的维数数目数目=维数和 （1.21） 个数可能多于的维数是因为，它们完备但彼此却不一定正交；而个
7、数可能少于的维数是因为，可以有这样的，它只向正交子空间投影，于是与这种相应的便是零。这个POVM名词最初来源于文献9。该文首次引入广义测量概念来分辩一些非正交的态。ii）直积解释：空间正交测量在子空间中表现假设考虑一个维系统，处在态上。并假设另有一个辅助系统（常称为“附属系统”，其维数这里并不重要，予以略去）处在已知态上。设这两个子系统组成一个“未关联”的张量积的大系统，初态为。现在对这个张量积系统进行某种正交投影测量。在单次测量中得到测量结果为中的某一个，相应概率为也即 （1.22）这组算符称作系统A的一组POVM单位算符的非正交测度分解。（1.22）表明，既是张量积大系统在正交测量中得到结
8、果为的概率，也是在子系统中执行相应POVM并得到的概率。 由于（1.22）中，以及是任意和非负的，可知全体都是非负的，有时简单称它们为正的。按(1.22)式，它们也是厄米的、总和为1。比如对总和，(1.22)式对求和即得分量形式为这正是（1.18）式。但对于直积情况，POVM中个数的上限与直和的（1.21）式不同。这时有维数积 （1.23）大系统测量且塌缩结果为时，大系统的态相应塌缩到下面状态， （1.24）但与此同时，对于只知道子系统的观察者而言，当测量塌缩到时，密度矩阵从变为 （1.25）显然，这里（1.25）式和前面（1.20）式求和中对应项是相同的。因为，注意到这里所用的向投影算符对而
9、言是单位算符，于是由于（1.25）式分子已经，所以可以左右全乘以，并收入求迹号内，同时对求迹号内两侧也如此做。至于分母可直接利用概率公式（1.22）。总之可以有这里最后结果上的根号是等式对全部测量概率归一化的要求。以上通过直和与直积两种方式说明了，在更大态空间中进行某个正交投影测量过程，反映到它某个子空间中（相当于只从这个子空间作局部性观察），就实现为一个非正交的投影系列实现一种POVM。3，POVM举例 例1 举一个单qubit两维态空间中POVM例子。选择个3维单位矢量和个正实数，使它们满足：，。由此便可构造一种有N个元素的POVM如下： (1.26a)回忆起自旋态的投影算符为2，其中是态
10、的极化矢量，就有 （1.26b）它们共计个，显然都是非负的、厄密的，并且有所以，这个就在此qubit二维态空间中定义了一个POVM。注意，在两维态空间中作单位算符的POVM分解时，若是两个分解（N=2，即），虽有无穷多种分解，但必定都是正交分解：只有多于所在空间维数的分解，即的分解，才必定是非正交的分解。比如对N=3情况，若取任意三角形的三个边作为（首尾相接的）三个矢量，则有，再选比如，于是便得到一种共计三个的如下POVM， （1.27）由它们乘积即知，它们已不再是正交投影，各自的迹也不是1了。例2 三维空间中正交投影测量。向X,Y,Z三个方向投影矩阵：这时，在法线方向为的二维平面上生存的人看
11、来，这个原本在三维空间中的正交投影测量是一个POVM测量。求这三个的表达式。解：将三维空间向X-Y平面投影操作转到向这个平面的投影操作。这个投影操作和Z-轴转到法线的转动有关。此转动为向这个平面投影操作为（注意有一个零根，不是三维，是二维）这里的相当于前面所说的向投影的。按(1.17)式，有这组POVM求和为这就是上面的(1.18)式。4，Neumark定理i，Neumark定理2，3上面通过考察比更大空间中的正交测量，得到了在空间中的POVM的概念。现在反过来考量，这就是Neumark定理：“总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间，并在这个较大空间执行适当正交测量的办法，实现所考虑空间
12、中任何事先给定的POVM。”证明：考虑维状态空间和（）个的一种POVM。每个一维正算符（意即只有1个非零本征值）可写为 （1.28）注意这里和不一定归一。于是，已设的全体之和为中单位矩阵的结果，现在就表示为 （1.29）可以换一种角度看待关系式（1.29）：按下式定义个维矢量这里是说，在维空间中第个矢量的第分量为。于是在这维空间中就已经有了个正交归一的矢量。现在只需要在这个维数较高的维空间中再增加（）个正交归一矢量，补充这个正交归一矢量集合，使它们共同构成一组正交归一完备基矢就可以了。显然，这种补充不但可行，而且办法并不唯一。设补充的（）个正交归一矢量为 （1.30）将两部分合并排成正交归一的
13、行之后，各列便同时组成维空间的一组个正交归一基。注意这些是如此构造的：第个矢量的前个分量为（），后（）个分量为新补充的。现在可以在这个维空间中执行一个由下面定义的正交测量： （1.31）显然，将基矢明写出来便是 （1.32）这里。这里是由所撑开的、维数为（）的、与正交的另一个子空间。通过正交投影，可将投影到，于是就得到中原先已设定为POVM的。 证毕。总而言之，由正交测量的局部投影之后所得的POVM以及此处的Neumark定理，得到一个总体的认识：在一个系统上执行任选的POVM类型测量是人们能够执行的最一般的测量。ii，举例说明例1 可以采用直和拓展方法来应用此定理。再次考虑单个qubit。取
14、2维态空间中3个POVM的（1.27）式：现在用直和方式增加一维，在三维态空间中构造相应的正交投影操作，使得在二维态空间中观察，测量就是事先给定的。为此取一个“三进制”量子位一个三维态空间的单量子系统qutrit，选取下面三个矢量，它们在球坐标中分别为，是X-Z面上的等角三叶螺旋桨，夹角。因此，考虑到和是归一化自旋态。由此得到2维空间原有的3个态矢， （1.33）现在，按定理证明叙述，将这3个2维矢量看作是个的矩阵（由于所取POVM的完备性，（1.33）式中两行是正交的）。再补上正交的第三行（注意保持归一化），就成为 （1.34）如定理所说的，各列（现即为）也彼此正交。这时若执行向基的正交投影测量（即，测量以为本征矢量的物理量组）。一位只生活在二维子空间中的观察者将会认为在他子空间中执行了一种POVM。就是说，如果我们手上的qubit暗中是某个qutrit的前两个分量，对这个qutrit态空间中进行上面这样的正交测量，就实现了在我们这个qubit上所预定的POVM。例2 也可以采用直积拓展的方法应用此定理。为便于比较，仍考虑单个qubit情况，并且还是取（1.27）式的POVM：三个态为（下面中添一
