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1、 第三章 多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布 在许多随机现象中，往往会涉及多个随机变量。比如打靶时，弹着点的位置就需由两个随机变量（横坐标和纵坐标）描述.再比如炼钢厂中炼出的每炉钢的硬度、含炭量、含硫量都必须考察,这样就需三个随机变量来描述.这样的例子很多,需要强调的是,这些随机变量之间一般说来是相互联系的,因而需要把这些变量作为一个整体，即向量来加以研究.一方面要讨论作为一个整体的统计规律性,另一方面要讨论他们之间的相互联系. 如何研究随机向量的统计规律性,与一维随机变量类似,我们可以用联合分布函数描述他们的统计规律性.然后重点讨论两类随机向量的概率分布:离散随机向量的联合
2、分布列,连续型随机向量的联合概率密度.而随机变量的独立性、条件分布则是用来讨论和刻画随机变量的统计联系.一. 多维随机变量及其分布函数定义 若为定义在同一样本空间上的个随机变量,则称他们的整体为维随机向量或维随机变量. 注意,此定义中要求为定义在同一样本空间上.而对于定义于不同样本空间和上的随机变量,我们需在乘积空间上讨论他们,这一点在后面的讨论中都是默认的.定义 设为维随机向量,为个任意实数,称元函数为随机向量的联合分布函数,简称分布函数.注意,概率是指个事件, 同时发生的概率,也即随机向量的联合分布函数在点处函数值是指事件的概率. 下面讨论二维随机变量,二维以上的情形可类似讨论. 二维随机
3、变量常记为,其分布函数记为.如果将二维随机变量视为平面上随机点的坐标,那么联合分布函数在点处的函数值就是随机点落入以为右上顶点的无穷矩形区域(含边界)上的概率.定理 任一二维分布函数都具有如下四条基本性质:(1) 单调性. 分别对或是单调不减的,即对,有;对,有.(2) 有界性. 对,且 , ,.(3) 右连续性. 对每个变量都是右连续的,即 对,有, 对,有.(4) 非负性. 对,有.前三条性质的证明略,下面证明第四条性质,而这条件性质是下面公式的推论。证明:记 , ,则 ,由此可得 . 由此知 利用上面的证明,我们还得到,由的联合分布函数确定随机向量落入矩形区域内（含右边界，不含左边界；含
4、上边界，不含下边界）的概率的计算公式: 例3.1.1 设随机变量的分布函数为 ,求(1);(2);(3).解: (1) 由于 , 由分布函数的性质可得 , , ,联立上面三式,可得 .(2) 由于为连续函数,故 ;(3) .与一维随机变量一样,我们重点讨论两类随机向量:离散型随机向量;连续型随机向量.二. 离散型随机向量及其联合分布列定义 如果二维随机向量只取有限个或可列个数对,则称为二维离散型随机向量,并称为的联合分布律,简称分布律. 也称为与的联合分布律.联合分布律可用表格表示如下: 联合分布列有如下基本性质:(1) 非负性 .(2)正则性 .与一维的情况一样,求二维离散型随机变量的联合分
5、布律的基本步骤是:首先确定所有可能取的数对,然后求出取每个数对的概率.例3.1.2 (例1)三. 连续型随机向量及其联合概率密度函数定义 设为二维随机向量,其分布函数为,若存在二元非负函数,使得对,有则称为二维连续型随机向量,称为的联合概率密度函数.简称为概率密度. 由此定义,可知若在点连续,则 这一式子也是我们在已知分布函数时求概率密度的方法. 概率密度函数的基本性质:(1) 非负性 .(2) 正则性 给出了的概率密度函数后,就可以求有关的事件的概率.若为一平面区域,则落入区域内的概率为 例如, ,其中.在具体计算时,若是分片函数,则积分区域是与的非零区域的交集,要注意的是由于曲线的面积是零
6、,故区域是否含边界不影响概率的计算.由以上计算概率的方法可以看出二维概率密度的概念可类比于平面上的质量分布密度的概率.例3.1.3 二维随机向量的概率密度为 求（1）；（2）；（3）的分布函数为。解：（1）由于 ，由密度函数的性质知 ，从而 ；（2）记区域，则 ；（3），当时，；当时，；当时， ；当时， ；当时， ；综上,的分布函数为 四常用多维分布 1.多项分布 考虑次独立重复试验，如果每次试验可能的结果有个互不相容的结果：，且各次试验中结果发生的概率均为，记为次独立重复试验中结果发生的次数，则随机向量的联合分布列为这个联合分布称为项分布，记为。 注意，由于，故项分布常用维向量表示，其分布列
7、可表示为2.多维超几何分布 考虑不放回抽样模型：一批产品共件，其中有件等品，从中任取件产品，若为取出的件产品中等品的件数，则随机向量的联合分布列为这个联合分布就是多维超几何分布。3.多维均匀分布 设为中的一个度量(平面的面积,空间的体积等)有限的区域，其度量为，如果维随机向量的概率密度为 则称服从区域上的维均匀分布。记为 。对于二维情形，设为平面上的面积有限的区域，其平面积,若服从区域上的均匀分布，那么的概率密度为 若平面区域，则其中为平面区域的面积。可见落入平面区域的概率是的面积与的面积之比，这正是二维几何概率。 例3.1.4 设，其中平面区域， （1）写出的概率密度；（2）求。解：（1）由于的面积为，故的概率密度为（2）记，那么的面积为，所以.4.二维正态分布 定义 若二维随机变量的概率密度为 则称服从二维正态分布，记为，其中参数，。例3.1.5 设，求。解：的概率密度为 作换元 则 。 二维正态分布及多维正态(多维正态分布将在下一章介绍)是一维正态分布的推广,也是概率论、数理统计中非常重要的一类分布.有关二维正态分布的性质将在后面章节中陆续介绍.- 10 -
