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1、第三章 微分中值定理与导数的应用本章将利用导数来研究函数的单调性和曲线的凹凸性，并讨论如何求函数的极值和最大最小值等问题，研究以上问题的理论基础，就是微分中值定理。第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理1 如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间两个端点处的函数值相等,即.则至少存在一点，使得.证 参见图3-1.由于在上连续，故在上必有最大值和最小值. (1) 如果，那么在上为常数，而常数的导数为零，故内任何点都可作为. (2) 如果，那么，最大值与最小值至少有一个在内取到，不妨假设在内某点处,下证.由于是在上的最大值，所以对于任意均有.当时，必有，由于存在，故.
2、定理证毕.图3-1 罗尔定理的几何意义：若两端点纵坐标相等的连续曲线内处处具有不垂直于轴的切线,则总可以在曲线内找到一点，使曲线在点的切线平行于轴或弦（见图3-1）.注意 罗尔定理只给出了结论中导函数的零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的.例1 不求导数,判断函数的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解 因为,所以在闭区间、上满足罗尔定理的三个条件,则至少存在一点,使得;又至少存在一点,使得 ;即都是的零点. 又因为为二次多项式,最多只能有两个零点,故恰好有两个零点,分别在区间和内.例2 设函数在上二阶可导，且,又，试证至少存在一点,使得. 证 由题设条件易知在上连续,在内可导,且,即
3、在上满足罗尔定理的条件，故存在，使得.又因为在上连续,在内可导,且,故再由罗尔定理可知至少存在一点，使得. 证毕.二、 拉格朗日中值定理定理2 如果满足(1) 在闭区间上连续;(2) 开区间在内可导.则必有，使得.分析 假设函数在区间上的图形是连续光滑曲线，如图3-2所示.图3-2显然，是连接点和点的弦AB的斜率，而是曲线在某点处的切线斜率，因此定理的结论是：在曲线上至少有一点，曲线在该点的切线平行于弦AB.平行于弦AB的直线中最简单的便是.证 令.由定理条件可知在上连续，在内可导,且，即在上满足罗尔定理条件.故必有，使得，即. 定理证毕.定理中，叫做拉格朗日中值公式,显然当时它也成立.在拉格
4、朗日中值公式中记，则有，若取，则又有，因此，拉格朗日中值公式又称为有限增量公式.当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时,常用拉格朗日中值公式来表示.推论 若函数在区间上的导数，则在上恒为常数.证 在区间上任取两点，应用拉格朗日中值定理有 由于，所以，即.由的任意性可知，在区间上恒为常数. 证毕.例3 证明:.证 令,则,于是,又因为,所以,故. 证毕.例4 证明:当时，.证 令，则在满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在，使得即，或，而，故. 证毕.三、 柯西中值定理定理3 如果,满足(1)在闭区间上连续;(2)在开区间在内可导;(3)在内每一点处，则至少有一点，使得.证 构造辅助函数
5、，易知满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，即，从而. 定理证毕.注意 在拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明中,我们都采用了构造辅助函数的方法.这种方法是微积分中证明数学命题的一种常用方法,它是根据命题的特征与需要,经过推敲与不断修正而构造出来的,并且不是唯一的.显然,若取,则,因而,柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理了.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例5 设函数在上连续,在内可导,证明: .证 结论可变形为,根据柯西中值定理,可设,则至少存在一点,使,即. 证毕.习题3-11. 验证罗尔定理对函数在区间上正确性.2. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性.3. 不用求出
6、函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在区间.4. 证明恒等式： .5. 用拉格朗日中值定理证明:当时,.6. 若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根.7. 设函数在上连续,在内可导,且,证明: 至少存在一点,使.8. 证明:方程只有一个正根.9. 证明:若函数在内满足关系式,且,则.10.设函数在上连续,在内有二阶导数,且有,证明: 至少存在一点,使.第二节 洛必达法则 如果当（或）时，函数与都趋于或都趋于无穷大，此时，极限（或）可能存在，也可能不存在.我们把这种形式的极限称为型不定式或型不定式.这两种不定式不能用商的极限运算法则求得.下面介绍求这类不定式极限的一种简便且重要的方
7、法洛必达法则.一、洛必达法则定理设函数与满足（1），；（2）在点的某去心邻域内与都可导,且；（3）存在(或为无穷大)；则 .证 因为是否存在与和取何值无关,故可补充定义,即在点连续,于是在去心邻域内取一点,则在以为端点的区间上,满足柯西中值定理的条件,则有在与之间.当时,所以(或). 定理证毕. 上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.推论 设函数与满足(1)，；(2) 当充分大时，存在，且；(3) 存在(或为无穷大)，则有 .定理2 设(1)，；(2)在点的某去心邻域内(或当充分大时),存在,且；(3) 存在(或为无穷大)，则有
8、 .证明从略.例1 求.解 =1.例2 求.解 .例3 求.解 .例4 求.解 =.例5 求.解 .例6 求.解 =0.例7 求为正整数,.解 反复应用洛必达法则次,得注意 将洛必达法则与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.例如,能化简应先化简,能用等价无穷小替换或重要极限时,应尽量用.例8 求.解 ,等式右边含有,该极限不存在(振荡),故洛必达法则失效.改用如下方法.注意 应用洛必达法则求极限时,如果不存在且不等于,只表明洛必达法则失效,并不意味着不存在,此时应改用其它方法求之.二、 其它几种不定式的极限除了型或型不定式外，还有型不定式，它们都可以经过适当变形，化为型或型不定式.1.对于型
9、,可将乘积化为除的形式,即化为型或型不定式来计算.例9 求.解 这是型不定式. =.2.对于型,可利用通分化为型不定式来计算.例10 求.解 这是型不定式.= =.3.对于型,可利用来计算,其中是有限数或无穷.例11 求.解 这是型不定式.因为=，而=，所以 =.例12 求.解 这是型不定式，因为，所以 =.例13 求.解 这是型不定式,因为,所以 .习题3-21. 用洛必达法则求下列各极限:（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）;（7）; （8）;（9）; （10）;（11） ; （12）.2.验证极限存在,但不能用洛必达法则求出.3.讨论函数在点处的连续性.第三节 函数的单调
10、性和曲线的凹凸性在第一章里我们已经介绍了函数单调性概念，这里我们将利用导数这个工具来研究函数的单调性和曲线的凹凸性。一、 函数的单调性定理1 设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.证 现只对（1）进行证明，（2）类似可证.设是内任意两点，且.在上应用拉格朗日中值定理，有 .由于在内,，故，即函数在上单调增加. 定理证毕.如果在内，且的点只有有限个，则在仍单调递增.例如且只有,在上也是单调增加的.如果将定理中的有限区间换成无限区间，结论同样成立.例1 判定函数在上的单调性.解 在内，故在上单调增加.例2 讨论函数的单调性.解 .当时
11、，函数在上单调增加；当时，函数在上单调减少；当时，函数在上单调增加.例3 讨论函数的单调性.解 函数在内连续.当时，;当时，不存在.当时，函数在上单调减少；当时，函数在上单调增加.例4 试证:当时，.证 令.由于在上连续，且 ，所以在上单调减少.从而当时，有，即当时，. 证毕.例5 证明方程在区间内有且只有一个实根.证 令,先证存在性.因为在闭区间上连续,且,所以由零点定理,在内至少有一个零点存在;再证唯一性.因为所以在内单调增加的,因此与轴至多只有一个交点.综上所述, 方程在区间内有且只有一个实根.证毕.二 、曲线的凹凸性与拐点函数曲线在上升或下降过程中，我们还要讨论曲线的弯曲方向,曲线的弯曲方向可以用凹凸性来描述.定义1 设函数在上连续，在内可导.若曲线总位于每一点的切线上方，则称此曲线弧为上凹弧(见图3-3(a)；若曲线总位于每一点的切线下方，则称此曲线弧为上凸弧（见图3-3（b）.（a）（b）图3-3从图3-4可以看出，曲线的凹凸性还有如下等价定义.定义2 设函数在上连续，在内可导.如果对于区间上任意两点，总有,那么称此曲线为上凹的（见图3-4（a）.若总有,那么称此曲线为上凸的（见图
