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1、浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷 文理合卷 2014 1 一 填空题 本大题共有14 题 满分56 分 只要求直接填写结果 每个空格填对得4 分 否则一律得零分 1 2 2 1 lim 2 n n nn 2 不等式0 1 x x 的解是 3 已知数列 n a中 1 1a 1 3 2 nn aannN 则 n a 4 已知tantan 是方程 2 670 xx的两根 则tan 5 甲校有 3600 名学生 乙校有 5400 名学生 丙校有 1800 名学生 为统计三校学生某方面的 情况 计划采用分层抽样法 抽取一个样本容量为90 人的样本 则应在甲校抽取的学生数 是
2、6 已知函数 11 24 xx f x的反函数为 1 fx 则 1 12 f 7 已知复数 1212 2 3 zi zai aRzz是 实数 则 12 zz 8 二项式 291 x x 的展开式中 含 3 x的项的系数是 9 在锐角ABCV中 4 3ACBC 三角形的面积等于3 3 则AB的长为 10 理 已知圆锥的底面半径为3 体积是12 则圆锥侧面积等于 10 文科 已知实数 x y满足24 2 yx xy y 则 22 1 1 sxy的最大值是 11 理 某学校要从5 名男生和2 名女生中选出2 人作为社区志愿者 若用随机变量表 示选出的志愿者中女生的人数 则随机变量的数学期望E 结果用
3、最简分数表 示 11 文 已知圆锥的底面半径为3 体积是12 则圆锥侧面积等于 12 函数32 2 xxxf 若axf 2 恒成立的充分条件是21x 则实数 a 的取值 范围是 13 文 用 S表示集合S 中的元素的个数 设ABC 为集合 称 A B C为有序三元 组 如果集合ABC 满足1ABBCCA III 且ABCII 则称有序 三元组 A B C为最小相交 由集合 1 2 3的子集构成的所有有序三元组中 最小相交的 有序三元组的个数为 理 用 S表示集合S 中的元素的个数 设ABC 为集合 称 A B C有为有序三元 组 如果集合ABC 满足1ABBCCA III 且ABCII 则称有
4、序 三元组 A B C为最小相交 由集合 1 2 3 4的子集构成的所有有序三元组中 最小相交 的有序三元组的个数为 14 已知函数 yf xxyNN 对任意 nN都有 3ff nn 且 f x是增 函数 则 3 f 二 选择题 本大题共有4 题 满分20 分 每小题都给出四个选项 其中有且只有一个选项 是正确的 选对得5 分 否则一律得零分 15 设 a bR ab 则下列不等式一定成立的是 A 22 ab B 11 ab D 22 ab 16 方程 5 logsinxx 的解的个数为 A 1 B 3 C 4 D 5 17 已知函数 1 2 2 x x xf则 1111 12 2013 20
5、14 2320132014 ffffffffKL A 2010 2 1 B 2011 2 1 C 2012 2 1 D 2013 2 1 18 如图所示 点 A B C是圆O上的三点 线段OC与线段AB交于 圆内一点 若OCmOAnOB uuu ruu ruu u r 则 A 01mn B 1mn C 1mn D 10mn 三 解答题 本大题共有5 题 满分74 分 解答下列各题必须写出 必要的步骤 B C A O 19 本题满分12 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 6 分 理 如图 四棱锥SABCD的底面是正方形 SD 平面 ABCD 2SDAD 1 求证 ACSB 2 求二面角CS
6、AD的大小 文 如图 四棱锥SABCD的底面是正方形 SD 平面ABCD 2SDAD 1 求证 SACD 2 求异面直线 SB与CD所成角的大小 20 本题满分14 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 实 践证明 声音强度D 分贝 由公式lgDaIb ab 为 非零常数 给出 其中 2 cmWI为声音能量 1 当声音强度 321 DDD满足 321 32DDD时 求对应的声音能量 321 III满足的 等量关系式 2 当人们低声说话 声音能量为 213 10cmW 时 声音强度为30 分贝 当人们正常说 话 声音能量为 212
7、10cmW 时 声音强度为40 分贝 当声音能量大于60 分贝时属于噪音 一般人在100 分贝 120 分贝的空间内 一分钟就会暂时性失聪 问声音能量在什么范围时 人会暂时性失聪 21 本题满分14 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 如图 设 3 1 22 A是单位圆上一点 一个动点从点A 出发 沿圆周按逆时针方向匀速旋转 12 秒旋转一 周 2秒时 动点到达点B t秒时动点到达点P 设 P x y 其纵坐标满足 sin 22 yf tt 1 求点B的坐标 并求 f t 2 若06t 求AP AB u uu r uuu r 的取值范围 22 本题满分16 分 第 1 小题 4 分
8、 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 文 已知a为实数 函数 22 22 11 11 xx f xa xx y A O x 1 当1a时 求 f x的最小值 2 当1a时 判断 f x的单调性 并说明理由 3 是否存在小于 0的实数 a 使得对于区间 2 5 2 5 55 上的任意三个实数rst 都存在以 f rf sf t 为边长的三角形 请说明理由 理 已知实数0a 函数 22 22 11 11 xx f xa xx 1 当1a时 求 f x的最小值 2 当 1a 时 判断 f x的单调性 并说明理由 3 求实数a的范围 使得对于区间 2 5 2 5 55 上的任意三个实数rst
9、都存在 以 f rf sf t 为边长的三角形 23 本题满分18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 文科 设项数均为k 2 kkN 的数列 n a n b n c前n项的和分别为 n S n T n U 已知 2 1 nn abnnk nN 且集合 1212 kk a aab bbLL 2 4 6 42 4 kkL 1 已知 n n nU22 求数列 n c的通项公式 2 若4k 求 4 S和 4 T的值 并写出两对符合题意的数列 n a n b 3 对于固定的k 求证 符合条件的数列对 n a n b 有偶数对 理科 设项数均为k 2 kkN 的数列 n
10、 a n b n c前n项的和分别为 n S n T n U 已知集合 1212 kk a aab bbLL 2 4 6 42 4 kkL 1 已知 n n nU22 求数列 n c的通项公式 2 若22 n nn STn 1 nk nN 试研究4k和6k时是否存在符合 条件的数列对 n a n b 并说明理由 3 若 2 1 nn abnnk nN 对于固定的k 求证 符合条件的数列对 n a n b 有偶数对 浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷答案 文理合卷 2014 1 一 填空题 1 1 2 2 01x 或 0 1 3 32n 4 1 5 30 6 2 log
11、 3 7 4 2 8 126 9 13 10 理 15 10 文科 90 11 理 4 7 11 文 15 12 1 a 4 13 文 6 理 96 14 6 二 选择题 15 D 16 B 17 D 18 B 三 解答题 19 理 解 1 连接 BD SD 平面ABCD AC平面ABCD AC SD 4 分 又四边形ABCD 是正方形 AC BD AC 平面 SBD AC SB 6 分 2 设SA的中点为E 连接DE CE SD AD CS CA DE SA CE SA CED是二面角CSAD的平面角 9 分 计算得 DE 2 CE 6 CD 2 则 CD DE 3 cos 3 CED 3
12、arccos 3 CED 所以所求二面角的大小为 3 arccos 3 12 分 19 文 解 1 SD 平面ABCD CD平面ABCD CD SD 3 分 又四边形ABCD 是正方形 CD AD CD 平面 SDA SA平面SDA SA CD 6 分 2 AB CD SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角 8 分 由 1 BA 平面 SDA SAB是直角三角形 2 2 tan2 2 arctan 2 SBA SBA 11 分 故异面直线SB与 CD所成角的大小为arctan2 12 分 20 解 1 321 32DDD lg 3 lg 2lg 321 bIabIabIa 2 分 321 l
13、g3lg2lgIII 4 分 3 3 2 21 III 6 分 2 由题意得 4012 3013 ba ba 8分 160 10 b a 10 分 46 1010I 13 分 答 当声音能量 10 10 46 I时 人会暂时性失聪 14 分 21 解 1 当2t时 2 2 123 AOB 所以 2 XOB 所以 点B的坐标是 0 1 2 分 又t秒时 66 XOPt 4 分 sin 0 66 ytt 6 分 2 由 3 1 22 A 0 1 B 得 3 1 22 AB uuu r 又cos sin 6666 Ptt 31 cos sin 662662 APtt uuu r 8 分 1 sin
14、2663 t 1 sin 266 t 10 分 Q06t 5 6666 t 1 sin 1 662 t 12 分 所以 AP AB uuu r uu u r 的取值范围是 3 0 2 14 分 22 文 解 易知 f x的定义域为 1 1 且 f x为偶函数 1 1a时 22 22 4 112 11 1 xx fx xx x 2分 0 x时 22 22 11 11 xx fx xx 最小值为 2 4 分 2 1a时 22 22 4 112 11 1 xx fx xx x 0 1x时 fx递增 1 0 x时 fx递减 6 分 f x为偶函数 所以只对0 1x时 说明fx递增 设 12 01xx
15、所以 44 12 110 xx 得 44 12 11 11xx 所以0 1x时 fx递增 10 分 3 2 2 1 1 x t x 2 5 2 51 1 553 xtQ 1 1 3 a ytt t 从而原问题等价于求实数a的范围 使得在区间 1 1 3 上 恒有 minmax 2yy 12 分 当0a时 a yt t 1 1 3 t 为递增函数 14 分 由 1 2310 3 aa 得 1 15 a与0a矛盾 所 以 不 存 在 小 于0的 实 数a 使 得 对 于 区 间 2 52 5 55 上 的 任 意 三 个 实 数 rst 都存在以 f rf sf t 为边长的三角形 16 分 22
16、 理 解 易知 f x的定义域为 1 1 且 f x为偶函数 1 1a时 22 22 4 112 11 1 xx fx xx x 2 分 0 x时 22 22 11 11 xx fx xx 最小值为 2 4 分 2 1a 时 22 22 4 112 11 1 xx fx xx x 0 1x时 fx递增 1 0 x时 fx递减 6 分 f x为偶函数 所以只对0 1x时 说明fx递增 设 12 01xx 所以 44 12 110 xx 得 44 12 11 11xx 所以0 1x时 fx递增 10 分 3 2 2 1 1 x t x 2 5 2 51 1 553 xtQ 1 1 3 a ytt t 从而原问题等价于求实数a的范围 使得在区间 1 1 3 上 恒有 minmax 2yy 11 分 当 1 0 9 a时 a yt t 在 1 1 3 上单调递增 minmax 1 3 1 3 yaya由 minmax 2yy得 1 15 a 从而 11 159 a 12 分 当 11 93 a时 a yt t 在 1 3 a上单调递减 在 1 a上单调递增 minmax 1 2 max 3 1
