《高考数学复习专项——高考数列真题汇编(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习专项——高考数列真题汇编(二)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学海无涯2010年高考数学真题之数列汇编1 2010年高考山东卷理科22 本小题满分14分 x 1 a 已知函数f x lnx ax 1 a R 1 2 当a 时 讨论f x 的单调性 2 14 设g x x 2bx 4 当a 1 时 若对任意x 0 2 存在 2 x 1 2 使 x f x1 g x2 求实数b取值范围 解析 本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力 考查分类讨论思想 数形结合思想 等价变换思想 以及综合运用知识解决新情境 新问题的能力 解 因为f x lnx ax 1 a 1 x2x2 1a 1ax2 x 1 ax 所以f x a x 0 令h x ax2 x
2、 1 a x 0 1 12 当a 时 x xh x 0恒成立 此时f x 0 函数f x 在 0 2上单调递减 1 2a 当0 a 时 1 1 1 0 x 0 1 时 h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递减 a x 1 1 1 时h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递增 x 1 1 时 h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递减 a 当a 0时 由于1 1 0 a 学海无涯x 0 1 h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递减 x 1 时 h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递增 综上所述 因为a 1 14 0 由 知 x1 1 x2 32 0 2 当x
3、0 1 时 f x 0 min 2 函数f x 单调递减 g x 8 g 2 8 4b 0b 2 1b 17 当 0 函数f x 单调递增 所以f x 在 0 2 上的最小值 x 1 2 时 f x 为f 1 1 2由于 对任意x1 0 2 存在x2 1 2 使f x1 g x2 等价于 2 g x 在 1 2 上的最小值不大于f x 在 0 2 上的最小值 1 22 1 又g x x b 4 b x 1 2 所以 当b min 1时 因为 g x g 1 5 2b0 此时与 矛盾 min 当b 1 2 时 因为 g x 4 b2 0 同样与 矛盾 min 当b 2 时 因为 g x g 2
4、8 4b 解不等式8 4b 1 可得b 1728 8 综上 b的取值范围是 17 命题意图 本题将导数 二次函数 不等式知识有机的结合在一起 考查了利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题 考查了同学们分类讨论的 学海无涯数学思想以及解不等式的能力 考查了学生综合运用所学知识分析问题 解决问题的能力 直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 2 利用导数求出f x 的最小值 利用二次函数知识或分离常数法求出g x 在闭区间 1 2 上的最大值 然后解不等式求参数 2 2010年高考福建卷理科20 本小题满分14分 已知函数f x x3 x 其图象记为曲线C 求函数f
5、 x 的单调区间 证明 若对于任意非零实数x1 曲线C与其在点P1 x1 f x1 处的切线交于另一点P2 x2 f x2 曲线C与其在点P2 x2 f x2 处的切线交于另一点P3 x3 f x3 线段 122312 2 S PP PP与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S S 则S1为定值 对于一般的三次函数g x ax3 bx2 cx d a 0 请给出类似于 ii 的正确命题 并予以证明 命题意图 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 运算求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊与一般思想 解析 i 由f x x3 x得f
6、x 3x2 1 3 x 3 x 3 33当x 3 和 3 时 f x 0 33 3 当x 33 3 时 f x 0 33 因此 f x 的单调递增区间为 3 3 和 单调递减区间为 33 33 ii 曲线C与其在点P处的切线方程为y 3x2 1 x x x3 x 即11111 2 3 1 1 y 3x 1 x 2x 由 23 1 y 3x 1 x 2x y x3 x 1得x3 x 3x2 1 x 2x3 11 即 x x 2x 2x 0 解得x x或x 2x 故x 2x 进而有111121 1 1 32 3 4 1 1 1 27 4 x 2x S 121 x 3xx 2x dx x 用x代替x
7、 重复上述计算过程 可得 学海无涯 3 4 222 27 4 2 x 2x和S x 又x 4 12 1 2x 0 所以S 4 27 16 x 0 S1因此有1 S216 记函数g x ax3 bx2 cx d a 0 的图象为曲线C 类似于 ii 的正确命题 为 若对任意不等式 b3a 的实数x1 曲线C 与其在点P x g x 处的切线交于另一点111 P2 x2 g x2 曲线C与其在点P2 x2 g x2 处的切线交于另一点P3 x3 g x3 线段 122312 2 S PP PP与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S S 则S1为定值 证明如下 b b 3a 因为平移变换不改变面积
8、的大小 故可将曲线y g x 的对称中心 g 平移至 3a坐标原点 因而不妨设g x ax3 hx x 0 类似 i ii 的计算可得 4 4 112 1 S x S 2727 16 1 2 S1 44S16 x 0 故 3 21 2010年高考天津卷理科21 本小题满分14分 已知函数f x xe x x R 求函数f x 的单调区间和极值 已知函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 证明当x 1时 f x g x 如果x1 x2 且f x1 f x2 证明x1 x2 2 命题意图 本小题主要考查导数的应用 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识 考查运算能力及用
9、函数思想分析解决问题的能力 解析 解 f x 1 x e x令f x 0 解得x 1当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 1 内是增函数 在 1 内是减函数 学海无涯 1 函数f x 在x 1处取得极大值f 1 且f 1 e 证明 由题意可知g x f 2 x 得g x 2 x ex 2 令F x f x g x 即F x xe x x 2 ex 2于是F x x 1 e2x 2 1 e x当x 1时 2x 2 0 从而e2x 2 1 0 又e x 0 所以F x 0 从而函数F x 在 1 是增函数 又F 1 e 1 e 1 0 所以x 1时 有F x F 1 0 即
10、f x g x 证明 1 若 x1 1 x2 1 0 由 及f x1 f x2 则x1 x2 1 与x1 x2矛盾 2 若 x1 1 x2 1 0 由 及f x1 f x2 得x1 x2 与x1 x2矛盾 根据 1 2 得 x1 1 x2 1 0 不妨设x1 1 x2 1 由 可知 f x2 g x2 则g x2 f 2 x2 所以f x2 f 2 x2 从而f x1 f 2 x2 因为x2 1 所以2 x2 1 又由 可知函数f x 在区间 1 内事增函数 所以x1 2 x2 即x1 x2 2 4 2010年高考数学湖北卷理科17 本小题满分12分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房
11、屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 k C x 3x 5 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热 层建造费用与20年的能源消耗费用之和 求k的值及f x 的表达式 隔热层修建多厚对 总费用f x 达到最小 并求最小值 学海无涯 5 2010年高考数学湖北卷理科21 本小题满分14分 b 已知函数f x ax c a 0 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为y x 1 x 用a表示出b c 若f x x在 1 上恒成立
12、 求a的取值范围 23 111 n 证明 1 n 1 n2 n 1 n 1 6 2010年高考湖南卷理科20 本小题满分13分 已知函数f x x2 bx c b c R 对任意的x R 恒有f x f x 证明 当x 0时 f x x c 2 学海无涯 若对满足题设条件的任意b c 不等式f c f b M c2 b2 恒成立 求M的最小值 7 2010年高考安徽卷理科17 本小题满分12分 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 求f x 的单调区间与极值 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 学海无涯 8 2010年高考全国卷I理科20 本小题满分12分 注
13、意 在 试 题 卷 上 作 答 无 效 已知函数f x x 1 lnx x 1 若xf x x2 ax 1 求a的取值范围 证明 x 1 f x 0 命题意图 本小题主要考查函数 导数 不等式证明等知识 通过运用导数知识解决函数 不等式问题 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 同时也考查了函数与方程思想 化归与转化思想 解析 20 解 f x x 1 lnx 1 lnx 1 x xf x xlnx 1 题设xf x x2 ax 1等价于lnx x a 令g x lnx x 则g x 1 1 x当0 x 1 g x 0 当x 1时 g x 0 x 1是g x 的最大值点 g x
14、 g 1 1综上 a的取值范围是 1 有 知 g x g 1 1即lnx x 1 0 当0 x 1时 f x x 1 lnx x 1 xlnx lnx x 1 0 当x 1时 f x lnx xlnx x 1 lnx x lnx 1 1 x 学海无涯 lnx x ln1 1 1 xx 0所以 x 1 f x 09 2010年高考四川卷理科22 本小题满分14分 1 ax 设f x a 0且a 1 g x 是f x 的反函数 1 ax 设关于x的方程求log ta x2 1 7 x g x 在区间 2 6 上有实数解 求t的取 值范围 n k 2 2 n n2 2n n 1 当a e e为自然对
15、数的底数 时 证明 g k 当0 1 2 a 时 试比较 n k 1 f k n 与4的大小 并说明理由 学海无涯 10 2010年高考江苏卷试题20 本小题满分16分 设f x 是定义在区间 1 上的函数 其导函数为f x 如果存在实数a和函数h x 其中h x 对任意的x 1 都有h x 0 使得f x h x x2 ax 1 则称函数f x 具有性质P a x 1 1 设函数f x lnx b 2 x 1 其中b为实数 学海无涯 i 求证 函数f x 具有性质P b ii 求函数f x 的单调区间 2 已知函数g x 具有性质P 2 给定x1 x2 1 x1 x2 设m为实数 mx1 1
16、 m x2 1 m x1 mx2 且 1 1 若 g g g x1 g x2 求m的取值范围 解析 本小题主要考查函数的概念 性质 图象及导数等基础知识 考查灵活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 满分16分 b 21 1 i f x 1 x2 bx 1 x x 1 2x x 1 2 1 x 1时 h x x x 1 2 0恒成立 函数f x 具有性质P b 2 24 b2 b2 ii 方法一 设 x x bx 1 x 1 x 与f x 的符号相同 b2 当1 0 2 b 2时 x 0 f x 0 故此时f x 在区间 1 上递增 4当b 2时 对于x 1 有f x 0 所以此时f x 在区间 1 上递增 b 当b 2时 x 图像开口向上 对称轴x 1 而 0 1 2对于x 1 总有 x 0 f x 0 故此时f x 在区间 1 上递增 方法二 当b 2时 对于x 1 x x2 bx 1 x2 2x 1 x 1 2 0所以f x 0 故此时f x 在区间 1 上递增 2 b 当b 2时 x 图像开口向上 对称轴x 1 方程 x 0的两根为 22 而 2
