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1、学海无涯试题出处 2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数f x lnx ax2 2 a x 1 讨论f x 的单调性 1 1 1 aaa 2 设a 0 证明 当0 x 时 f x f x 3 若函数y f x 的图像与x轴交于A B两点 线段AB中点的横坐标为x0 证明 f x0 01说题目立意考查常见函数的导数公式 包括形如f ax b 的复合函数求导 及导数的四则运算法则 考查对数的运算性质 导数法判断函数的单调性 考查用构造函数的方法证明不等式 考查分类讨论 数形结合 转化化归等思想 2说解法 定义域优先原则 解 f x 的定义域为 0 f x 1 2ax 2 a 2x 1 ax 1
2、 xx 若a 0 则f x 0 所以f x 在 0 单调递增 a 若a 0 则由f x 0 得x 1 a 1时 当x 0 f x 0 f x 单调递增 分类讨论的思想 当x 1 时f x 0 f x 单调递减 a归纳小结 本问主要考查导数法确定函数单调性 属导数中常规问题 2 分析 在函数 导数的综合题中 不等式证明的实质就是转化成函数求最值 本问只要考查构造函数法 完成不等式的证明 11 aa 形如f x f x 的不等式叫 二元不等式 二元不等式的证明 多采用 主元法 11 aa 方法一 构造以x为主元的函数设函数g x f x f x 则g x ln 1 ax ln 1 ax 2ax 学
3、海无涯 22 2a3x2 g x a a 2a 1 ax1 ax1 ax a 当0 x 1时g x 0 而g 0 0 所以g x 0 故当0 x 时 11 1 aa a f x f x 方法一 构造以a为主元的函数 11 aa 设函数g a f x f x 则g a ln 1 ax ln 1 ax 2ax 22 xx2x3a2 2x g a 1 ax1 ax1 ax 1 a 1x 由0 x 解得0 a x 当0 a 1时 g a 0 而g 0 0 所以g a 0 111 xaa 故当0 a 时 f x f x 归纳小结 1构造函数法解决不等式证明2体现化归的思想 说题大赛是对课标 考纲中的知识点 能力水平以及过程与方法中的老师如何讲 学生如何训练 以及对一道题如何开发出它全部的功能 如何把一道题拓展出它最大的价值 这些都是我们在训练规范当中要高度去认识的东西 实际上这么多年我们在训练这方面 老师凭经验去说 老师凭经验去提 老师凭经验去训练学生 老师凭经验去给学生拓展 把知识功能挖出来
