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1、待定系数法求二次函数的解析式知识讲解(基础)【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 : (1)一般式:(a,b,c为常数,a0); (2)顶点式:(a,h,k为常数,a0); (3)交点式:(,为抛物线与x轴交点的横坐标,a0)2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如或,或,其中a0; 第二步,代
2、:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数; 第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为;当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为;当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1已知二次函数的图象过(1,9)、(1,3)和(3,5)三点,求此二次函数的解析式.【答案与解析】本题已知三点求解析式,
3、可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),由题意得:解得所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax2+bx+c (a0).举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例1】【变式】(2014秋岳池县期末)已知二次函数图象过点O(0,0)、A(1,3)、B(2,6),求函数的解析式和对称轴【答案与解析】解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把O(0,0)、A(1,3)、B(2,6)各点代入上式得解得,抛物线解析式为y=2x2+x;抛物线
4、的对称轴x= 2(2015巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M(1,2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式【答案与解析】解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,2),设此二次函数的解析式为y=a(x1)22,把点(2,3)代入解析式,得:a2=3,即a=5,此函数的解析式为y=5(x1)22【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式.举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例2】【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为,且过点.(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标
5、原点?并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】(1)(2)令,得,解方程,得, 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.3(2016丹阳市校级模拟)抛物线的图象如图,则它的函数表达式是 当x 时,y0【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3),可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式y0时,求x的取值范围,即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值【答案】y=x24x+3x1,或x3【解析】解:观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3),由“交点式”,得抛物线
6、解析式为y=a(x1)(x3),将(0,3)代入,3=a(01)(03),解得a=1故函数表达式为y=x24x+3由图可知当x1,或x3时,y0【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解类型二、用待定系数法解题4已知抛物线经过(3,5),A(4,0),B(-2,0),且与y轴交于点C (1)求二次函数解析式; (2)求ABC的面积【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(a0),将(3,5)代入得, 即(2)由(1)知C(0,8), 【总结升华】此题容易误将(3,5)当成抛物线顶点将抛物线解析式设成顶点式