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1、切线长定理知识讲解（提高） 【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2切线的性质定理：圆的切线垂
2、直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理1切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3圆外切四边形的性质：圆外切四边形
3、的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆
4、的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. 如图，等腰三角形中，以为直径作O交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点求证：直线是O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、，则 ， 是的中点是的中点，于F是O的切线 【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，ABDC，B=90，AD=AB+DC，AD是O的直径求证：BC和O相切 【答案】作OEBC，垂足为E， ABDC，B=90， OEABDC， OA=OD， EB=EC， BC是
5、O的切线 2. 已知：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是O的切线 【答案与解析】连接OD OA=OD，1=2 ADOC， 1=3，2=4因此 3=4又 OB=OD，OC=OC， OBCODCOBC=ODCBC是O的切线，OBC=90，ODC=90， DC是O的切线【总结升华】因为AB是直径，BC切O于B，所以BCAB要证明DC是O的切线，而DC和O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DCOD也就是只要证明ODC=OBC.而这两个角分别是ODC和OBC的内角，所以只要证ODCOBC这是不难证明的举一反三：【高清ID号： 356967 关联的位置名称（播
6、放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：MAN=30，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作O，交AN于D、E两点，设AD=，如图当取何值时，O与AM相切；如图当为何值时，O与AM相交于B、C两点，且BOC=90MANEDO图（1）MANEDBCO图（2） 【答案】 （1）设AM与O相切于点B，并连接OB，则OBAB；在AOB中，A=30，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2x=AD=2. （2）过O点作OGAM于GOB=OC=2，BOC=90，BC=，OGBC，BG=CG=，OG=，A=30OA=， x=AD=2类型二、三角形的内切圆3.（2015西青区二模）已知四边形ABC
7、D中，ABCD，O为内切圆，E为切点（）如图1，求AOD的度数；（）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（）如图2，若F是AD的中点，在（）中条件下，求FO的长【答案与解析】解：（）O为四边形ABCD的内切圆，AD、AB、CD为O的切线，OD平分ADC，OA平分BAD，即ODA=ADC，OAD=BAC，ABCD，ADC+BAC=180，ODA+OAD=90，AOD=90；（）在RtAOD中，AO=8cm，DO=6cm，AD=10（cm），AD切O于E，OEAD，OEAD=ODOA，OE=（cm）；（）F是AD的中点，FO=AD=10=5（cm）【总结升华】本题考查了三角形的
8、内切圆与内心，也考查了切线长定理类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.（2015常德）已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为3，EAC=60，求AD的长【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，F为BC的中点，AO=CO，OFAB，AC是O的直径，CEAE，OFAB，OFCE，OF所在直线垂直平分CE，FC=FE，OE=OC，FEC=FCE，0EC=0CE，ACB=90，即：0CE+FCE=90，0EC+FEC=90，即：FEO=90，FE为O的切线；（2）如图2，O的半径为3，AO=CO=EO=3，EAC=60，OA=OE，EOA=60，COD=EOA=60，在RtOCD中，COD=60，OC=3，CD=，在RtACD中，ACD=90，CD=，AC=6，AD=【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键
