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1、垂径定理知识讲解（提高） 【学习目标】1 理解圆的对称性；2 掌握垂径定理及其推论；3学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（
2、3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 【答案】.【解析】作OMAB于M、ONCD于N，连结OA， AB=CD，CE=1，ED=3， OM=EN=1，AM=2，OA=.【点评】对
3、于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，O两弦AB、CD垂直相交于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半径 【答案】如图所示，过点O分别作OMAB于M，ONCD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ， ， 在RtBOM中，【高清ID号： 356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（2015春安岳县月考）如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长 【答案与解析】解：过O作OFCD，交CD于点F，连接OD，F为CD的中点，即CF=DF，AE=2，EB=6
4、，AB=AE+EB=2+6=8，OA=4，OE=OAAE=42=2，在RtOEF中，DEB=30，OF=OE=1，在RtODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF=，则CD=2DF=2【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2. 已知：O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】 在O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M， 并
5、延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ABCD ONCD，即ON为弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 图1 图2 (2)如图2所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在O中，直径MNAB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_【答案】2或8类型二、垂径定理的综合应用3.（2015普陀区一模）
6、如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得OAB=45，在AB延长线上的C处测得OCA=30，已知BC=50米，求人工湖的半径（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作ODAC于点D，则AD=BD，OAB=45，AD=OD，设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50OCA=30，=，即=，解得x=，OA=x=（）=（）（米）答：人工湖的半径为（）米【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4. 不过圆心的直线l交O于C、D两点，AB是O的直径，AEl于E，BFl于F
7、 (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OAOB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论 【答案与解析】(1)如图所示， 在图中AB、CD延长线交于O外一点；在图中AB、CD交于O内一点； 在图中ABCD (2)在三个图形中均有结论：线段ECDF (3)证明：过O作OGl于G由垂径定理知CGGD AEl于E，BFl于F， AEOGBF AB为直径， AOOB， EGGF， ECEGCGGFGDDF【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
