小升初奥数讲义全(二)

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1、学海无涯 小学六年级奥数的基本分类 一 工程问题 跟知识握握手1 顾名思义 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题 其实 这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题 也括行路 水管注水等许多内容 2 在分析解答工程问题时 一般常用的数量关系式是 工作总量 工作效率 工作时间 工作时间 工作总量 工作效率 工作效率 工作总量 工作时间 工作总量指的是工作的多少 它可以是全部工作量 一般用数1表示 也可以是部分工作 1 量 常用分数表示 例如工程的一半表示成 2 工作效率指的是干工作的快慢 其意义是单位时间里所干的工作量 单位时间的选取 根据题目需要 可以是天 也可以是时 分 秒等 工作效率的单位是一

2、个复合单位 表示成 工作量 天 或 工作量 时 等 但在不引起误会的情况下 一般不写工作效率的单位 小试牛刀甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要20小时 16小时 丙水管单独开 排一池水要10小时 若水池没水 同时打开甲乙两水管 5小时后 再打开排水管丙 问水池注满还是要多少小时 修一条水渠 单独修 甲队需要20天完成 乙队需要30天完成 如果两队合作 由于彼此施工有影响 他们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 乙队工作效率只有原来的十分之九 现在计划16天修完这条水渠 且要求两队合作的天数尽可能少 那么两队要合作几天 一件工作 甲 乙合做需4小时完成 乙 丙合做需5小时完

3、成 现在先请甲 丙合做2小时后 余下的乙还需做6小时完成 乙单独做完这件工作要多少小时 一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 这样交替轮流做 那么恰好用整数天完工 如果第一天乙做 第二天甲做 第三天乙做 第四天甲做 这样交替轮流做 那么完工时间要比前一种多半天 已知乙单独做这项工程需17天完成 甲单独做这项工程要多少天完成 师徒俩人加工同样多的零件 当师傅完成了1 2时 徒弟完成了120个 当师傅完成了任务时 徒弟完成了4 5这批零件共有多少个 学海无涯一个池上装有3根水管 甲管为进水管 乙管为出水管 20分钟可将满池水放完 丙管也是出水管 30分钟可将满池水放完 现在先打

4、开甲管 当水池水刚溢出时 打开乙 丙两管用了18分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多少分钟将水放完 某工程队需要在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 问规定日期为几天 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要2小时 而点完一根细蜡烛要1小时 一天晚上停电 小芳同时点燃了这两根蜡烛看书 若干分钟后来点了 小芳将两支蜡烛同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍 问 停电多少分钟 二 鸡兔同笼问题 跟知识握握手1 基本概念 鸡兔同笼问题又称为置换问题 假设问题 就是把假设错的那部分置换出来 2

5、基本思路 假设 即假设某种现象存在 甲和乙一样或者乙和甲一样 假设后 发生了和题目条件不同的差 找出这个差是多少 每个事物造成的差是固定的 从而找出出现这个差的原因 再根据这两个差作适当的调整 消去出现的差 3 基本公式 把所有鸡假设成兔子 鸡数 兔脚数 总头数 总脚数 兔脚数 鸡脚数 把所有兔子假设成鸡 兔数 总脚数一鸡脚数 总头数 兔脚数一鸡脚数 4 关键问题 找出总量的差与单位量的差 5 解 鸡兔同笼问题 的常用方法是 替换法 转换法 置换法 等 通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数 然后根据已知条件进行假设性的运算 直到求出结果 概括起来 解 鸡兔同笼问题 的基本公式是 鸡数 每只

6、兔脚数 鸡兔总数 实际脚数 每只兔子脚数 每只鸡的脚数 兔数 鸡兔总数 鸡数 小试牛刀1 有若干只鸡和兔子 它们共有88个头 244只脚 问鸡 兔各多少只 2 蜘蛛有8条腿 蜻蜓有6条腿和2对翅膀 蝉有6条腿和1对翅膀 现在这三种小虫共18只 有118条腿和20对翅膀 问每种小虫各多少只 3 每一辆货车运输2000只玻璃瓶 运费按到达时完好的瓶子数计算 每只2角 如有破损 破损的不给运费 还要每只赔偿1元 结果得到运费379 6元 问这次搬运中玻璃瓶破损了几只 学海无涯 六年级甲班有50个同学向汶川灾区捐款共计2010元 其中捐50元的人有30人 其他同学捐20元或者30元 问捐20元和30元

7、的同学各多少人 学校组织新年文艺晚会 用作奖品的铅笔 圆珠笔 钢笔共232支 共花了300元 其中铅笔数量是圆珠笔的4倍 已知铅笔每支0 6元 圆珠笔每支2 7元 钢笔每支6 3元 问三种笔个多少支 6 从甲到乙全长45千米 有上坡路 平路 下坡路 李强上坡速度是每小时3千米 平路上速度是每小时5千米 下坡速度是每小时6千米 从甲到乙 李强走了10小时 从乙到甲李强走了11小时 问甲到乙上坡 平路 下坡路各有多少千米 7 有堆硬币 面值为1分 2分和5分三种 其中1分硬币是2分硬币的11倍 已知这堆硬币的币值总和是1元 问5分有多少枚 8 有50名同学外出游玩 乘电车前往每人1 2元 乘小巴前

8、往每人4元 乘地铁前往每人6元 这些同学共有车费110元 问其中乘小巴的共有多少人 9 鸡与兔共100只 鸡的腿数比兔的腿数少28条 问鸡与兔各有几只 三 数字数位问题1 把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789 2005 这个多位数除以9余数是多少 2 A和B是小于100的两个非零的不同自然数 求A B分之A B的最小值 已知A B C都是非0自然数 A 2 B 4 C 16的近似值市6 4 那么它的准确值是多少 一个三位数的各位数字之和是17 其中十位数字比个位数字大1 如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调 得到一个新的三位数 则新的三位数比原三位数大

9、198 求原数 一个两位数 在它的前面写上3 所组成的三位数比原两位数的7倍多24 求原来的两位数 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 它与原数相加 和恰好是某自然数的平方 这个和是多少 一个六位数的末位数字是2 如果把2移到首位 原数就是新数的3倍 求原数 答案为85714有一个四位数 个位数字与百位数字的和是12 十位数字与千位数字的和是9 如果个位数字与百位数字互换 千位数字与十位数字互换 新数就比原数增加2376 求原数 有一个两位数 如果用它去除以个位数字 商为9余数为6 如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和 则商为5余数为3 求这个两位数 学海无涯10 如果现

10、在是上午的10点21分 那么在经过28799 99 一共有20个9 分钟之后的时间将是几点几分 四 排列组合问题 跟知识握握手1 排列 一般地 从n个不同的元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 根据排列的定义 两个排列相同 指的是两个排列的元素完全相同 并且元素的排列顺序也相同 如果两个排列中 元素不完全相同 它们是不同的排列 如果两个排列中 虽然元素完全相同 但元素的排列顺序不同 它们也是不同的排列 2 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同的元素 n 的排列中取出

11、m个元素的排列数 我们把它记做Pm 根据排列的定义 做一个m元素的排列由m个步骤完成 步骤1 从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位 有n种方法 步骤2 从剩下的 n 1 个元素中任取一个元素排在第二位 有 n 1 种方法 步骤m 从剩下的 n m 1 个元素中任取一个元素排在第m个位置 有n m 1 n m 1 种 方法 3 由乘法原理 从n个不同元素中取出m个元素的排列数是 n n 1 n 2 n m 1 即Pm nn 1 n 2 n m 1 这里 m n 且等号 n右边从n开始 后面每个因数比前一个因数小1 共有m个因数相乘 4 组合 一般地 从n个不同元素中取出m个 m n 元素组成

12、一组不计较组内各元素的次序 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道 排列与元素的顺序有关 而组合与顺序无关 如果两个组合中的元素完全相同 那么不管元素的顺序如何 都是相同的组合 只有当两个组合中的元素不完全相同时 才是不同的组合 5 从n个不同元素中取出m个元素 m n 的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出 n m个不同元素的组合数 记作Cm m 6 一般地 求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pn可分成以下两步 n 第一步 从n个不同元素中取出m个元素组成一组 共有Cm种方法 m 第二步 将每一个组合中的m个元素进行全排列 共有Pm种排法 nnm 根

13、据乘法原理 得到Pm Cm Pm 因此 组合数 m Pm Cm n nPm n n 1 n 2 n m 1 m m 1 m 2 3 2 1 这个公式就是组合数公式 小试牛刀1 有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 A768种B32种C24种D2的10次方中 学海无涯2若把英语单词hello的字母写错了 则可能出现的错误共有 A119种B36种C59种D48种3 小新 阿呆等七个同学照像 分别求出在下列条件下有多少种站法 七个人排成一排 七个人排成一排 小新必须站在中间 七个人排成一排 小新 阿呆必须有一人站在中间 七个人排成一排 小新 阿呆必须都站在两边 七个人排成一排 小

14、新 阿呆都没有站在边上 七个人战成两排 前排三人 后排四人 七个人战成两排 前排三人 后排四人 小新 阿呆不在同一排 4 用1 2 3 4 5 6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数 5 用1 2 3 4 5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数 6 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数 若将这些四位数按从小到大的顺序排列 则5687是第几个数 7 用1 2 3 4 5这五个数字 不许重复 位数不限 能写出多少个3的倍数 8 用1 2 3 4 5 6六张数字卡片 每次取三张卡片组成三位数 一共可以组成多少个不同的偶数 9 某管理员忘记了自己小保险柜

15、的密码数字 只记得是由四个非0数码组成 且四个数码之和是9 那么确保打开保险柜至少要试几次 10 两对三胞胎喜相逢 他们围坐在桌子旁 要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻 同一位置上坐不同的人算不同的坐法 那么共有多少种不同的坐法 11 已知在由甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行的手工制作比赛中 决出了第一至第五名的名次 甲 乙两名参赛者去询问成绩 回答者对甲说 很遗憾 你和乙都未拿到冠军 对乙说 你当然不会是最差的 从这个回答分析 5人的名次排列共有多少种不同的情况 12 4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 甲不在中间也不在两端 甲 乙两人必须排在两端 男 女生分别

16、排在一起 男女相间一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目 求 1 当4个舞蹈节目要排在一起时 有多少不同的安排节目的顺序 2 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时 一共有多少不同的安排节目的顺序 13 1 从1 2 8中任取3个数组成无重复数字的三位数 共有多少个 只要求列 学海无涯式 从8位候选人中任选三位分别任团支书 组织委员 宣传委员 共有多少种不同的选法 3位同学坐8个座位 每个座位坐1人 共有几种坐法 8个人坐3个座位 每个座位坐1人 共有多少种坐法 一火车站有8股车道 停放3列火车 有多少种不同的停放方法 8种不同的菜籽 任选3种种在不同土质的三块土地上 有多少种不同的种法 14 某校举行男生乒乓球比赛 比赛分成3个阶段进行 第一阶段 将参加比赛的48名选手分成8个小组 每组6人 分别进行单循环赛 第二阶段 将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组 每组4人 分别进行单循环赛 第三阶段 由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛 确定1至4名的名次 问 整个赛程一共需要进行多少场比赛 16 由数字1 2 3组成五位数 要求这五位数中1 2 3至少各出现