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1、第五章 控制系统的稳定性分析 自动控制原理 5 1系统稳定性的基本概念 5 2系统的稳定条件 5 3代数稳定判据 5 4乃奎斯特判据 5 5对数幅相频率特性的稳定判据 5 6控制系统的相对稳定性例题分析课后习题 5 1系统稳定性的基本概念 如果一个系统受到扰动 偏离了原来的平衡状态 而当扰动取消后 这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态 则称系统是稳定的 否则这个系统是不稳定的 控制系统稳定性的定义 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下 其过渡过程随着时间的推移 逐渐衰减并趋于零 具有恢复原平衡状态的性能 则称该系统稳定 否则 称该系统不稳定 注意 1 稳定性是系统自身的固有特性 它取决于系统
2、本身的结构和参数 而与输入无关 对于纯线性系统来说 系统的稳定与否不与初始偏差的大小有关 如果 这个系统是稳定的 就叫做大范围稳定 而经过线性化处理的系统都是 小偏差 稳定 2 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性 也就是说 是讨论输入为零 系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性 即讨论自由振荡是收敛还是发散的 5 2系统的稳定条件 设定常线性系统的微分方程为 式中 若记并对5 1作拉氏变换 得 式中为系统的传递函数 因为是在零初始条件下 有则拉氏反变换 有由上式可知 若系统所有特征根的实部均为负值 即 这样的系统就是稳定的 反之 若特征根中有一个或多个根具有正实部时 则零输入将随
3、时间的推移发散 即这样的系统是不稳定的 由此可得以下结论 1 控制系统稳定的充分必要条件是 系统特征方程式的根全部具有负实部 系统特征方程式的根就是闭环极点 所以控制系统稳定的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部 或说闭环传递函数的极点全部在 S 平面的左半面 2 如特征根相同上述结论仍成立 3 判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部 5 3代数稳定判据 一 劳斯判据1 系统稳定的必要条件 1 特征方程的各项系数都不等于零 2 特征方程的各项系数都不大于零 2 系统稳定的充要条件 设系统稳定的特征方程式为劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是 劳斯阵列中第一列所有项均为正号
4、 劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列 即为劳斯阵列 其中系数等 根据下列公式计算 同样的方法可以计算c d e等各行的系数 注意 在展开的阵列中 为简化其后的数值计算 可用一个正整数去除或乘某一个整行 并不影响稳定性结论 劳斯判据还说明 方程式 5 4 中 其正实部特征根数 等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数 例设控制系统的特征方程为试用劳斯判据判断其稳定性解首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 其次 排劳斯阵列 由劳斯阵列第一列可知 其系数出现负值 因此系统不稳定 并且符号变化两次 所以有两个正实部特征根 3 二阶 三阶和四阶系统的劳斯判据低阶系统的劳斯判据可以化简 1 二阶系统 2
5、三阶系统 各项系数大于零 3 四阶系统 各项系数大于零 4 特殊情况 1 如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零 可以用一个很小的正数来代替它例设控制系统的特征方程为用劳斯判据判断其稳定性 解由劳斯阵列符号改变一次符号改变一次由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致 系统不稳定 并且符号改变两次 所以有两个正实部特征根 2 劳斯阵列出现整排零例设控制系统的特征方程为试用劳斯判据判断其稳定性解计算劳斯阵列如下 在此情况下 可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式 并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行 利用辅助多项式够成的辅助方程 解出特征根 由此可得到辅助多项式由此可得到劳斯阵
6、列 从劳斯列表中可只 第一列为出现负数 说明系统在右半平面没有特征根 但是 行的各项元素为零 说明虚轴上有共轭虚根 该根可由辅助方程求得 解该方程 求得系统的共轭虚根 故 系统处于零界稳定 二赫尔维茨判据设系统特征方程为由其系数可得如下行列式 系统稳定的充要条件是 主行列式及对角线上个子行式 均大于零 即 5 4乃奎斯特判据 应用乃奎斯特判据不需要求取闭环系统的特征根 而是应用分析法或频率特性实验法获得开环特性 即曲线 进而分析闭环系统的稳定性 特点 1 当系统某些环节的传递函数无法用分析法列写时 可以通过试验来获得这些环节的频率曲线 整个系统的频率曲线也可用实验法来获得 这样就可系统闭环的稳
7、定性 2 与劳斯判据相同 不需要求特征方程的根 3 利用开环传递函数的乃氏图去判断闭环系统的稳定性 4 除判断稳定性外 还可以指出系统稳定储备 相对稳定性 一米哈依洛夫定理定理 设n次多项式D s 有p个零点在复平面的右半面 有q个零点在原点上 其余n p q个零点位于左半面 则当s jw代入D s 并命w从0连续增大到时 复数D jw 的角增量应等于证明 方程为一次的情况下若根在左半平面 则 命s jw 可得现命w由0增大到 从图可以看出角的增量为 若上式b为负值 则角增量为如图 若根在右半平面 其角增量如图所示 为 现考虑n次多项式 且在原点有q个零点 可表示为在左半平面中 对于每一个实零
8、点 b 0 而言 角增量而对于每一对共轭复零点而言 其中一个的角增量为另一个为 所以一对共轭复零点总的角增量为而平均一个左半平面零点贡献的角增量为 总共有n p q个零点 它们贡献的角增量为同理 所有右半平面的零点贡献的角增量为而在原点 综上所述 D s 的总角增量为推论 如果n次多项式D s 的所有零点都位于复平面左半平面 则当s jw代入D s 并命w从0增大到时 复数D s 的角连续增大二乃奎斯特稳定判据1反馈系统开环和闭环的特征方程式 该单位反馈系统的开环传递函数为闭环传递函数为令 F是新引进的函数 其分母是系统开环特征多项式 分子是闭环特征多项式 对于非单位反馈系统 开环传递函数为
9、2乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的 则根据米哈依洛夫定理如果闭环系统稳定 有于是 从乃氏图上看 G jw 不包围 1 j0 点 稳定不稳定 2 若开环系统不稳定 有p个零点在右半平面 q的零点在原点 n p q个零点在左半平面则如果闭环是稳定的 则故 也就是说 对于一个稳定的系统而言 当w从0连续增大到时 开环传递函数在右半平面的每一个极点使 在原点处的每一个极点使 列系统的开环传递函数为讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响解 这是一个三阶系统 没有开环零点 且开环极点全部位于左半s平面 因此是最小相位系统 作极坐标草图 先计算极限值 0时 有 时 有 且 增加时有 依此作极坐标草图如
10、图所示 判别当K小时 极坐标轨线围绕 1 j0 点的角度增量为不包围 1 j0 点 所以系统是稳定的 当K大时 围绕 1 j0 点的角度增量为由于围绕 1 j0 点转了 1圈 不等于零 所以系统不稳定 3关于G s 中含有零极点的处理方法 当原点处存在开环极点时 其表达式为 由于开环极点因子G s 1 s既不在左半s平面上 也不在右半s平面上 当 由0变到 时 原点处开环极点的幅角增量值是不定的 因而不能应用幅角增量公式来计算 对于这种情况 可以认为原点处的开环极点属于左半s平面 在数学作如下处理 在s平面的s 0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过原点 如下页图所示 这样 当 由0增加到0 时
11、原点处就已经获得了 2的增量 相应地 作为复变函数G s 1 s 由复变函数的保角定理可得 在G j 平面上的无穷大半圆处也就获得 2的幅角增量 因此 可以在G j 平面上的无穷大半圆处作增补线 如上页图所示 得到相应的增补角为 2 例 已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别系统的稳定性 解 1 作极坐标图 且 增加时有依此作极坐标草图如图所示 2 稳定性判别当K小时 不包围 1 j0 点 所以系统是稳定的 当K大时 由于围饶 1 j0 点 所以系统不稳定结论 把零极点当作左半平面根处理 并且没有右半平面零极点时 乃氏判据变为 1 若G jw 曲线包围 1 j0 点 系统不稳定 2 若G j
12、w 曲线不包围 1 j0 点 系统稳定 4 关于 s 平面上的乃氏轨迹的另一方案 s 平面上的乃氏轨迹还有另一取法 如下图 设在 s 平面上有封闭曲线L 其中 两段是由到的整个虚轴组成的 段是半径R趋向于无穷大的圆弧组成的 因此 段就包围了整个 s 平面的右半平面 另外 在原点附近 乃氏轨迹以原点为圆心 以无穷小为半径的圆弧逆时针绕过原点 s 平面这样取以后 乃氏图发生了相应的变化 看下面两图 此时 乃氏判据为 p为右半平面极点数 1 当p 0 若开环乃氏图 不包围 1 j0 点 则闭环系统稳定 如右图 反之 不稳定 如左图 2 当p 0 若开环乃氏图逆时针包围 1 j0 点p圈 则系统稳定
13、若逆时针包围 1 j0 点不到p圈 或顺时针包围 1 j0 点 则闭环系统不稳定 例如某系统的开环传递函数为p 2 其乃氏图逆时针包围 1 j0 点2圈 故系统稳定 5 5对数幅相频率特性的稳定判据 对数幅相频率特性的稳定判据 实际上是乃氏稳定判据的另一种形式 即利用开环的伯德图来判断系统的稳定性 而伯德图又可以通过实验获得 因此在工程上得到了广泛应用 一 对数幅相频率特性的稳定判据的原理 根据乃氏稳定判据 利用系统开环乃氏图与单位圆及实轴的两个交点在伯德图上的反映来判断系统的稳定性首先 来看系统乃氏图的稳定情况 二 对数幅相频率特性的稳定判据1 如果开环是稳定的 且在L w 0的所有角频率w
14、值下 相角范围大于 线 那么 系统是稳定的 例 2 对数幅相频率特性稳定性判据的普遍情况 如果系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面内 它在闭环状态下稳定的充分必要条件是 在所有L w 0的频率范围内 相频特性曲线 w 在 线上的正负穿越之差为p 2次 正穿越 当乃氏图从大于 的第二象限越过负实轴到三象限时 叫正穿越 负穿越 当乃氏图从大于 的第三象限越过负实轴到二象限时 叫正穿越 半次正穿越 w 0时 0 乃氏图向第三象限去时 叫半次正穿越 正 负穿越 半次正穿越 例 判断下列各系统的稳定性 5 6控制系统的相对稳定性 从乃氏稳定判据可知 若系统开环传递函数没有右半平面的极点 且闭环系
15、统是稳定的 那么G jw 的轨迹离 1 j0 点越远 则闭环的稳定性越高 开环乃氏轨迹离 1 j0 点越近 则闭环的稳定性越低 这就是通常所说的相对稳定性 它通过G jw 的轨迹离 1 j0 点越远近程度来度量 其定量表示为相位裕量和幅值裕量 如图 1 相位裕量相位裕量是描述系统相对稳定性的另一度量指标 在图中 对应于时的频率 交点C 称为增益穿越频率 剪切频率或交界频率 在剪切频率处 使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位滞后角 定义为相位裕量 用表示 对于任何系统 相位裕量的算式为式中 是开环频率特性在剪切频率处的相位 不难理解 对于稳定的开环系统 若 则曲线包围 1 j0 点 相应的
16、闭环系统不稳定 反之 若 则相应的闭环系统稳定 一般来说 越大 系统的相对稳定性就越好 这是因为系统的参数并非绝对不变 如果太小 就有可能因参数的变化而使奈奎斯特曲线包围 1 j0 点 导致系统不稳定 2 幅值裕量设一稳定的开环系统奈氏曲线如图所示 它与负实轴交于G点 与单位圆交于C点 在开环频率特性的相角时的频率 交点G 处 开环幅值的倒数称为增益裕量 用表示 即式中 称为相位穿越频率 相位交界频率 上式表示系统在变到临界稳定时 系统的增益能增大多少 由奈奎斯特稳定判据可知 对于最小相位系统 其闭环稳定的充要条件是曲线不包围 1 j0 点 即曲线与负实轴交点处的模小于1 此时 反之 对于不稳定的系统 综上所述 对于开环为稳定的系统 G jw 具有正幅值裕量及正相位裕量时 其闭环系统稳定 G jw 具有负幅值裕量及负相位裕量时 其闭环系统不稳定 在工程实践中 为使上述系统有满意的稳定储备 一般希望 由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系 相位裕量表明开环对数幅频特性在剪切频率上的斜率应大于 40dB dec 因此 为保证有合适的相位裕量 一般希望 这一段上
