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1、 1 第三章半导体中载流子的统计分布 2 本章要点 理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件 及费米函数的性质 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系 掌握本征 杂质半导体中载流子浓度的计算 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式 3 引言 热平衡状态 在一定的温度下 给定的半导体中载流子的产生和复合同时存在 最后达到一动态平衡 热平衡载流子浓度 当半导体处于热平衡状态时 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定的值 这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流子浓度 4 3 1状态密度 3 1 1三
2、维情况下的自由电子运动 3 1 1三维情况下的自由电子运动 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 2状 能 态密度的定义 假定有s个相同椭球 可得到状态密度 若等能面为旋转椭球面 即 并令 则 3 1 2状 能 态密度的定义 3 1 3状 能 态密度的总结 3 1 3状 能 态密度的总结 3 2费米能级和载流子的统计分布 热平衡状态下 电子按能量大小 具有一定的统计分布规律性 电子是费米子 遵从费米分布 3 2 1费米分布函数绝对温度
3、T下的物体内 电子达到热平衡状态时 一个能量为 的独立量子态 被一个电子占据的几率f E 为 K0为玻尔兹曼常数 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数 称为费米能级 19 3 2 1费米分布函数 它描述了在热平衡状态下 在一个费米粒子系统 如电子系统 中属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率 费米分布函数与温度的关系 T 0K 若EEF 则f E 0 T 0K 若E EF 则f E 1 2 若E1 2 若E EF 则f E 1 2 20 温度升高 能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升 可见 温度主要影响费米能级附近的电子状态 3 2 1费米分布函数 关于费米能级的几个要点 1 一般可
4、以认为 在温度不太高时 能量大于EF的电子态基本上没有被电子占据 能量小于EF的电子态 基本上被电子所占据 而电子占据E EF能态的几率在各种温度下总是1 2 2 EF标志了电子填充能级的水平 EF位置越高 则填充在较高能级上的电子就越多 21 空穴的费米分布函数 fV E 与1 f E 是关于EF是对称的 即为电子 空穴几率对称性 3 2 1费米分布函数 22 费米能级在能带中的位置 对于金属晶体 价电子只能部分填满最外的导带 费米能级位置在导带中 对于半导体晶体 价电子填满了价带 最外的导带是空的 费米能级位置在禁带内 且随其中的杂质种类 杂质浓度以及温度的不同而改变 3 2 1费米分布函
5、数 23 3 2 2玻耳兹曼分布函数 即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数 此时 电子的费米分布函数近似为 1 电子的玻耳兹曼分布函数 24 这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布 此时 空穴的费米分布函数近似为 类似地 若 2 空穴的玻耳兹曼分布函数 3 2 2玻耳兹曼分布函数 非简并系统和简并系统通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统 而必须用费米分布描述的系统称为简并系统 对于电子系统 当填充的能级的位置都能满足 E EF kT时 可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率 此时的电子系统是非简并的 对于空穴系统 当填充的能级的位置都能满足 EF E kT时
6、 可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 此时的空穴系统是非简并的 3 2 2玻耳兹曼分布函数 26 意义 当粒子系统中的微粒子非常稀少时 粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去意义 即系统中每一个量子态不存在多于一个粒子占据的可能性 3 2 2玻耳兹曼分布函数 27 低掺杂半导体中 载流子统计分布通常遵顺玻耳兹曼统计分布 这种电子系统称为非简并性系统 高掺杂半导体 载流子服从费米统计 这样的电子系统称为简并性系统 3 2 2玻耳兹曼分布函数 28 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 载流子浓度 单位体积内的载流子数 电子按量子态分布 费米或玻耳兹曼分布 量子态按能量的分布 状态密度 处理方法
7、 先求出E E dE范围内电子数 再通过整个能带积分 积分值应等于总电子数的条件 求出电子浓度 29 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 E E dE内的量子态数 dZ gc E dE 电子占据能量为E的量子态的概率 f E 则E E dE内的所有量子态上的电子数为 dN f E gc E dE 先考虑导带 30 对旋转椭球形等能面 所以E E dE间的电子浓度为 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 dN f E gc E dE 设Ec Ef K0T 采用玻尔兹曼分布函数 31 假设导带底的能量为Ec 而导带顶的能量为Ec 则整个导带内的电子浓度为 引入变量x E Ec k0T 作代换上式
8、变为 式中x EC EC k0T 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 32 对于实际半导体 导带的能量间隔为几个eV时 x 的值在几十以上 再依据函数x1 2e x随x变化规律 见图3 4 积分上限x 可用无穷大来代替 得到导带中电子浓度为 利用积分公式 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 33 令 称NC导带的有效状态密度 Nc正比于T3 2 是温度的函数 因此 导带电子浓度可表示为 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 34 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 此式的物理意义是 把导带中所有的量子态都集中在导带底Ec 而它对应的量子态数为Nc 则导带中的电子浓度等于这些量子态中容纳的
9、电子数 为电子占据能量为EC的量子态的几率 其中 35 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 用类似的处理办法 热平衡状态下 非简并半导体的价带空穴浓度为 为空穴占据能量为EV的量子态的几率 其物理意义是 把价带中所有的量子态都集中在价带顶EV 而它的量子态数为NV 则价带中的空穴浓度就是NV个量子态中包含的空穴数 36 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度取决于温度T和费米能级EF的位置 温度的影响来源于两个方面 一是Nc和NV随温度变化 二是玻耳曼分布函数中的指数随温度变化 讨论 37 3 2 4载流子浓度乘积 半导体中载流子浓度的乘积为 把Nc NV的
10、表示式代入 并代入h和k0值 再引入自由电子质量m0 上式可以写为 38 3 2 4载流子浓度乘积 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关 也与掺杂无关 取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量 在特定温度下 对于确定的半导体材料 热平衡下载流子浓度的乘积保持恒定 讨论 39 3 3本征半导体的载流子浓度 40 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 T 0K时 价带中的量子态完全填满 导带完全空着 本征激发条件下 电子和空穴成对出现 因此导带中电子的浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0 即n0 p0 T 0K后 本征半导体的价带中的电子激发到导带 同时在价带中产生等量空穴 本征激发 本
11、征半导体的电中性条件 41 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 由电中性条件可确定费米能级EF 由此式可以解出EF 并用Ei表示本征半导体的费米能级 则得 把Nc和Nv的表示式 42 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 代入得 对硅 锗和砷化镓有 这三种半导体材料 EF约在禁带中线附近1 5kT的范围内 43 3 3 2本征载流子浓度 可算计出本征载流子浓度为 把费米能级表示式 代入电子或空穴浓度表达式 44 3 3 2本征载流子浓度 1 本征半导体的载流子浓度只与半导体本身能带结构及温度有关 温度一定时 禁带宽度越窄的半导体 本征载流子浓度越大 对给定的半导体 本
12、征载流子随温度升高而迅速增大 2 载流子浓度的乘积可以写为 即在一定温度下任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积等于该温度下本征载流子浓度的平方 说明 45 代入上式得 3 将Nc和Nv的表达式 46 3 3 2本征载流子浓度 从而得到 电子和空穴的另一表示式 上式说明 当费米能级EF在本征费米能级之上时 导带电子浓度n0大于价带空穴浓度p0 即半导体为n型 反之半导体为p型 而且EF偏离Ei越远 两种载流子浓度的差别就越大 利用 或 以及 或 47 3 3 2本征载流子浓度 实际半导体中杂质和缺陷总是存在的 只要杂质含量低于一定限度就可以认为是本征半导体 本征载流子随温度迅速变化 使器件性
13、能不稳定 所以制造半导体器件用的是含有适当杂质的半导体 器件的极限工作温度取决于Eg和有效掺杂浓度 说明 48 3 4杂质半导体的载流子浓度 49 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 50 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 51 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 52 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 杂质能级与费米能级的相对位置反映了电子和空穴占据杂质能级的情况 2 类似地 当EF远在EA之上时 受主杂质几乎全部电离 EF远在EA在之下时 受主杂质基本上没有电离 EF与EA重合时 受主杂质1 3电离 2 3没有电离 即EF远在ED之下时 施主杂质几乎全部电离 反之 EF远ED在之上时 施主杂质
14、基本上没有电离 EF与ED重合时 施主杂质有1 3电离 2 3没有电离 1 当 时有 此时 讨论 53 3 4 2杂质半导体的电中性条件 带电粒子 导带电子 电离受主 价带空穴 电离施主 带负电 带正电 54 3 4 2杂质半导体的电中性条件 热平衡状态下电中性条件 电荷密度为零 把 和 代入得 即 55 3 4 2杂质半导体的电中性条件 上式中除EF外 其余各量都已知 因此在一定温度下可求出费米能级 这是求解费米能级的普遍表达式 但精确的解析求解非常困难 56 3 4 3n型半导体的载流子浓度 n型半导体是以导带电子的导电为主的半导体 三种掺杂情形 只掺施主杂质 掺施主杂质远大于掺受主杂质
15、受主杂质可以忽略不计 掺施主杂质大于掺受主杂质 杂质补偿后仍呈现为n型半导体 57 3 4 3n型半导体的载流子浓度 对象 单掺杂的n型半导体条件 非简并 1 低温弱电离温度区 温度很低时 施主未完全电离 本征激发可以忽略不计 因此 价带的空穴浓度p0 0 这种情况称处于杂质电离温度区 电中性条件 58 3 4 3n型半导体的载流子浓度 意义 电离的施主浓度等于导带上的电子浓度 此时电中性条件为 未完全电离 59 3 4 3n型半导体的载流子浓度 上式可化为 解得 费米能级与温度 杂质浓度和杂质性质有关 60 3 4 3n型半导体的载流子浓度 不难看出 当ND2NC时 则EF位于ED和EC之间
16、的中线以上 甚至可以进入导带低EC以上 即简并化 得到低温弱电离区的电子浓度表达式 61 测得n0与温度的关系 可以用上式求得电离能 上式两边取对数 得 2 中间电离区 介于弱电离与完全电离之间的温度区 本征激发仍略去 随着温度T的增加 nD 已足够大 故直接求解方程 EF带入 可求出n0 63 3 4 3n型半导体的载流子浓度 电中性条件 3 强电离 饱和电离 的温度区 当温度升高到一定值后 有效施主杂质全部电离 但本征激发仍可忽略 64 显然 费米能级由温度和杂质浓度决定 由于一般掺杂浓度下 费米能级在导带底以下 对硅和锗 NC 1018 1019 cm3 可得费米能级表示式为 65 3 4 3n型半导体的载流子浓度 4 过渡温度区 此时 电中性条件变为 半导体所处温度超过杂质饱和电离的温度区之后 本征激发不可忽略 随温度升高 因本征激发产生的载流子浓度迅速增加 ND与ni的数值可以相比拟 称这种情况为处于过渡温度区 过渡温度区 66 3 4 3n型半导体的载流子浓度 解得过渡温度区的费米能级 代入上式得到费米能级 温度一定时 Ei和ni一定 EF可求 67 3 4 3n型半导体的
